Thèmes de recherche :
Analyse des EDP.
a- Equations de transport, modèles cinétiques et
hydrodynamiques.
b- Systèmes hyperboliques, perturbations singulières, et
méthodes d'énergie modulée.
c- Transport optimal, optimisation convexe.
d- Régularité des EDP elliptiques non-linéaires
(en particulier, EDP de type Monge-Ampère). Solutions de
viscosité.
Description de quelques travaux
1- Approximation des
fluides incompressibles : (Publications 2
et 8) Les solutions de l'équation d'Euler incompressible
s'interprètent comme des géodésiques sur les
transformations qui préservent le volume. L'idée est
alors d'approcher ce système en considérant un fluide
compressible qui subit une force de rappel vers les transformations qui
préservent le volume. D'après le Théorême de
factorisation polaire de Brenier, cette force de rappel est
donnée par le transport optimal de la densité du fluide
vers un densité uniforme. Ainsi le couplage
accélération/densité se fait à travers
l'équation Monge-Ampère. La convergence vers Euler
incompressible est alors montrée par une méthode
d'énergie modulée.
Publications
1- Reconstruction
of the early universe avec Y. Brenier, U.
Frisch, S. Matarrese, R. Mohayaee, A. Sobolevskii,
Mon. Not. R. Astron. Soc.,
2003. version pdf
2-A geometric approximation to the Euler equations: The
Vlasov-Monge-Ampere equation, avec Y. Brenier,
Geom.
Funct. Anal., 2004. version
.pdf
3- Electric turbulence in a plasma subject to a strong magnetic field,
avec Alexis Vasseur,
Asymptotic Analysis,
2004. version .pdf
4- On the regularity of the polar factorization for time dependent
maps,
Calc. Var. Partial Differential
Equations, 2004.
version
.pdf
5- Contractive metrics for scalar conservation laws, avec F. Bolley et
Y. Brenier,
à paraître dans Journal
of Hyperbolic Differential
Equations, 2005.
version .pdf
6- The reconstruction problem for the Euler-Poisson system in
cosmology,
à paraître dans Arch.
Rat. Mech. Anal., 2005. version .pdf
7- Numerical
solution of the Monge-Ampère equation by a Newton's algorithm,
avec F. Rapetti,
Cr. Acad, Sci. Paris, 2005. version .pdf
8- Quasi-neutral
limit of the Euler-Poisson and Euler-Monge-Ampere
systems,
Comm.
Partial Differential Equations, 2005. version .pdf
9-
Uniqueness of the
solution to the Vlasov-Poisson system with
bounded density,
Journal de
Mathematiques Pures et Appliquees. version
.pdf
10- Gradient
estimates for potentials of invertible gradient-mappings on
the sphere, avec Ph. Delanoe,
Calc. Var. Partial Differential
Equations
version .pdf
11-
A fully
non-linear version of Euler incompressible equations: the
Semi-Geostrophic system,
SIAM Journal of Math
Analysis. version .pdf
12- On the regularity of solutions of optimal transportation problems ,
Acta Mathematica, 2009 version .pdf
13- Regularity of optimal maps on the sphere: The quadratic cost and the reflector antenna,
Arch. Ration. Mech. Anal, 2011 version .pdf
14- C1 Regularity of solutions of the Monge-Ampere equation for optimal transport in dimension two, with A. Figalli
Calv. Var Partial Differential Equations, 2009 version .pdf
15- Regularity of optimal transport in curved geometry : the non-focal
case, with C. Villani,
Duke Math. Journal, 2010
version .pdf
1- Option pricing with market impact and non linear Black and Scholes pde's,
version .pdf