Magimatique avec Snap !

jeudi 19 janvier 2017
par  Webmaster IREM

JPEG - 96.8 ko Claude Shannon, le père de la théorie de l’information, est à l’honneur à l’IHP.

La quantité d’information nécessaire à choisir un élément parmi une liste est souvent très petite, ça a conduit à des tours de magie depuis longtemps. Expliciter ce qui est en jeu est plus intéressant que simplement esbaudir les foules. Et d’expliciter à programmer, il n’y a qu’un pas, qu’il est utile de franchir.

Voici deux activités programmées en scratch, et reprogrammées (et aussi) avec Snap ! à utiliser pour l’amusement et la curiosité, puis pour interagir et avoir un "milieu" assez riche afin d’essayer de comprendre, puis à "démonter" pour voir ce qu’il y a à l’intérieur si on n’a pas compris, ou pour vérifier, et enfin comme modèle pour le reprogrammer en classe. Sans chercher à faire trouver la solution, pour des CE1, faire fonctionner le tour est l’occasion de calculs mentaux d’addition intéressants et motivants.

  • Je vais deviner votre date de naissance. Enfin le jour dans le mois. Sélectionnez parmi les 5 cartes celles le contenant puis cliquez sur le chat, il vous dira quelle est votre date de naissance ! Activité en Snap ! L’activité papier-crayon en classe est également intéressante : on imprime ces cartes qui permettent de faire le tour, puis on les distribue aux élèves en leur demandant de comprendre comment le tour fonctionne.
  • Le même mais avec un système de numération différent : la suite de Fibonacci remplace les puissances de deux.
  • Un tour où il faut être deux, un compère (mais qui ne triche pas) et la mathémagicienne : Snap ! joue ici le rôle du compère. Un membre du public change de face des cartes organisées en un carré 4x4, puis le compère retourne une unique carte. Enfin le participant retourne lui aussi une unique carte. La mathémagicienne se retourne alors et trouve quelle était cette dernière carte !

Deux activités débranchées en complément de la devinette des anniversaires :

  • Avec des tubes (ou des frites de piscine) coupés aux longueurs 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 cm et 1 m 28, (ou 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 pour MagieFibo) demandez à deux élèves de se tracer l’un l’autre leur taille au tableau et de la déterminer seulement en empilant ces tubes. JPEG - 217 ko On arrive rapidement à l’algorithme glouton suivant :

Je prends le plus grand tube qui est plus petit que la distance à mesurer et je recommence avec ce qu’il reste.

Le fait que ça fonctionne avec toutes les longueurs se formalise dans le théorème suivant :

Tout nombre entier peut s’écrire d’une manière unique comme somme de puissances de deux toutes différentes.

C’est-à-dire la décomposition en binaire. Sa démonstration formelle a comme clef le pendant fini et positif du paradoxe de Zénon : $1+2+4+\cdots+2^n=2^{n-1}-1$ qui découle algébriquement de l’égalité de polynômes $(1+X+X^2+\cdots+X^n)(X-1)=X^{n-1}-1$ ou géométriquement de la somme des termes d’une suite géométrique. Une fois ce point acquis, une démonstration par récurrence forte par exemple est relativement facile à comprendre.

Vous pouvez aussi imprimer cette page, faire découper les bandes et retrouver le code binaire des petits nombres entiers.

  • Le compteur binaire en carton. On réalise chaque place de chiffre en refermant une languette de papier fort en un parallélépipède assez aplati, marquée de 1 et 0 sur chaque face, avec une encoche du côté du 1 pour la retenue, qu’on enfile sur une réglette. JPEG - 76.4 ko On agit sur le chiffre le plus à droite, si c’est un 0, il tourne seul et devient un 1. Si c’est un 1, sa languette entraine le chiffre situé à sa gauche, qui lui-même etc... JPEG - 106 ko JPEG - 116.2 ko

En base dix, c’est mieux en bois et à plat. Ici, une activité de l’IREM de Brest lors de la sortie du livre Passerelles enseigner les mathématiques par leur histoire. JPEG - 75.2 ko

Il existe aussi des compteurs à billes. Compter en binaire avec des billes


Documents joints

Cartes à imprimer pour le tour
Cartes à imprimer pour le tour
Présentez tour à tour chaque carte en demandant si le nombre choisi entre 1 et 31 est dessus. À (...)
Puissances de 2 à imprimer à 107%
Puissances de 2 à imprimer à 107%
Des bandes de papier (c’est mieux en carton) à imprimer à 107% sur une feuille A4. Ces bandes (...)

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