L3 Probabilités et statistiques, printemps 2018

Horaires

Les cours auront lieu le mardi après-midi 14h-16h à partir du 23 janvier (exception : le cours du mardi 30 janvier aura lieu de 15h30 à 17h30). Les TD et TP auront lieu le lundi matin de 9h45 à 13h à partir du 29 janvier.

Références

Une référence : les notes de cours de Grégory Miermont (Partie II). Vous pouvez également consulter le livre Probabilité de Barbe-Ledoux. Parmi les autres références classiques : L'essentiel en théorie des probabilités de Jacod et Protter, et encore d'autres notes de cours de Jean Jacod.

Avancement du cours

  • 1. Cours du 23 janvier. Chapitre 1 : VOCABULAIRE ET CONCEPTS PROBABILISTES. 1.1 Espaces de probabilité, événements. Variables aléatoires (réelles). Loi. Variables aléatoires à valeurs dans un espace mesurable. Espérance. Formule de transfert. Cas discret, cas à densité. Moments. Variance. 1.2 Fonction de répartition. Propriétés (croissance, continuité à droite, limite à gauche). Théorème : la fonction de répartition caractérise la loi. Fonction caractéristique. Théorème (admis pour l'instant) : la fonction caractéristique caractérise la loi.

  • 2. Cours du 30 janvier. Complément : si X est à densité, la densité est la dérivée de la fonction de répartition. Exemples de lois : loi de Bernoulli, loi uniforme sur un ensemble fini, loi uniforme sur un intervalle ]a,b[. Théorème : toute mesure de probabilité sur R peut-être réalisée comme la loi de f(U) avec U de loi uniforme sur ]0,1[. 1.4 Quelques inégalités : Markov, Tchebychev, Cauchy-Schwarz, Hölder. Chapitre 2 : INDEPENDANCE. Notation P(A|B). Indépendance de 2 événements, d'une famille quelconque d'événements. Indépendance de v.a. Lemme de groupements par paquets. Lien entre indépendance et mesure-produit.

  • 3. Cours du 6 février. Espérance du produit de fonctions de v.a. indépendantes. Exemple de lois : loi binomiale, loi de Poisson (motivée par l'approximation de la loi binomiale), loi gaussienne (motivée par l'approximation de la loi binomiale), loi géométrique.

  • 4. Cours du 13 février. Loi géométrique, loi exponentielle, absence de mémoire. Rappels sur L^p (quotient par l'égalité p.s.). Variance d'une somme de v.a. indépendantes. Définition de la convergence en probabilité. Loi faible L^2 des grands nombres. Lemmes de Borel-Cantelli : énoncé et preuve.

  • 5. Cours du 27 février. Le développement en base 2 d'un nombre pris uniformément dans ]0,1[ est une suite iid Bernoulli(1/2) ; généralisation en base b. Presque tout nombre de ]0,1[ est un nombre-univers (=toute suite finie apparaît dans le développement) en toute base. Loi du 0/1. Application : la marche aléatoire simple sur Z passe p.s. infiniment par 0 (car limsup=+inf, liminf=-inf).

  • 6. Cours du 6 mars. Processus de branchements : définition. Théorème : condition nécessaire et suffisante pour que la probabilité de survie soit non nulle ; la probabilité d'extinction est le plus petit point fixe dans [0,1] de la série génératrice de la loi de branchement. Notions de convergence : presque sûre, L^p en proabilités ; implications entre ces notions.

  • 7. Cours du 13 mars. Contre-exemples aux implications entre notions de convergence ; preuve que d(X,Y)=E[min(|X-Y|,1)] définit une distance complète qui métrise la cv en proba ; de toute suite qui cv en proba on peut extraire une sous-suite qui cv ps. Loi forte des grands nombres : énoncé L^1, preuve L^4. Corollaire : la marche aléatoire biaisée sur Z tend vers l'infini.

  • 8. Cours du 20 mars. Interrogation surprise. Méthode de Monte-Carlo et lien avec la loi forte des grands nombres. Chapitre 4 : TCL. Convergence étroite de mesures de proba, convergence en loi de v.a.. Lemme : les fonctions continues à support compact suffisent pour tester la convergence en loi. Convergence en loi des v.a. à valeurs dans N. Proposition : la convergence en probabilité implique la convergence en loi.

  • Partiel du 27 mars : sujet, corrigé

  • 9. Cours du 3 avril. Proposition : la convergence en loi équivaut à la convergence ponctuelle des fonctions de répartitions aux points où la fonction-limite est continue. Notion de suite tendue (exemple de suite non tendue). Théorème de Helly : toute suite tendue admet une sous-suite qui converge en loi. Théorème de Lévy (énoncé+début de preuve).

  • 10. Cours du 10 avril. Fin de la preuve du théorème de Lévy. Théorème central limité : énoncé et preuve. Fonctions caractéristiques de lois usuelles. Chapitre 5 : STATISTIQUES. Théorème fondamental de la statistique. Intervalles de confiance asymptotiques.

  • 11. Cours du 24 avril. Intervalles de confiances non asymptotiques : inégalités de Hoeffding (+preuve). Estimation paramétriques : notion d'estimateur sans biais, d'estimateur consistant, de vitesse d'un estimateur. Étude de quelques exemples, dont un pour illustrer l'estimation par maximum de vraisemblance.

    Examen

    Voici le sujet de la première session ainsi que le corrigé.

    Feuilles de TD

  • Feuille 1 : théorème de transfert, lois, fonction de répartition.
  • Feuille 2 : Fonction caractéristique, inégalité de Markov et indépendance.
  • Feuille 3 : Indépendance (suite), lois usuelles.
  • Feuille 4 : Lemmes de Borel-Cantelli, Convergences p.s., en probabilité, dans L^p
  • Feuille 5 : Borel-Cantelli, convergence en proba ou p.s, loi forte des grands nombres, processus de branchement
  • Feuille 6 : Convergence en loi
  • Feuille 7 : Convergence en loi, tension, Thérème de Lévy, TCL, intervalles de confiance

    Sujets de TP

    TP 1 et TP 2 ; voici aussi le code scilab pour le TP2

    Devoir maison

    Sujet sur la preuve de la loi forte des grands nombres sous l'hypothèse L^1

    Evaluation

    Il y aura a cours de l'année

  • N interrogations surprises de 10 à 20 minutes, soit en cours soit en TD (vous ne connaissez pas N, c'est un entier entre 1 et 10)
  • 1 examen partiel à la place d'une séance de cours : le 27 mars
  • 1 examen final

    donnant lieu aux notes suivantes

  • S = moyenne des interrogations surprises subies (S=0 pour un élève absent à toutes)
  • P = note à l'examen partiel (P=0 si absence)
  • F = note à l'examen final

    La note de contrôle continu sera C = max(P,(P+S)/2)

    La note retenue pour l'UE sera max(F,(F+C)/2)

    Annales

    Des examens (dont un corrigé) de l'année précédente sont disponibles ici.