Existe-t-il une puissance de $6$ qui commence par un chiffre neuf en base dix ? Oui, mais on ne le trouve pas de tête : $6^176$ commence par un chiffre neuf. C’est le premier d’une liste infinie.
Existe-t-il une puissance de $6$ qui commence par $999\,999$ ? par $123456789101112$ ? Oui aussi. On peut, par ordre de difficulté :
- montrer qu’il y a un nombre infini de telles puissances ;
- estimer combien il y en a entre parmi les $n$ premières puissances ;
- chercher une puissance effective.
Cela fait appel à des techniques très différentes : les sous-groupes de R, l’équirépartition, les fractions continues. C’est le sujet d’un devoir proposé à l’agrégation interne en septembre 2017, que voici.
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