Calcul intégral, printemps 2010

C'est ici que vous pourrez suivre l'avancement du cours, les éventuels changements de salles, etc. Les feuilles d'exercices seront également disponibles.

Horaires et répartition des groupes de TD

Cours : le lundi de 13h45 à 15h45 en Thémis 69.

Programme du cours

Le but de ce cours est de poser les bases de la théorie de l'intégration de Lebesgue. J'invite l'élève curieux à aller lire la page wikipedia correspondante pour se faire une idée plus précise du but de ce cours. D'autres pages intéressantes sur des sujets que l'on abordera en cours :

  • ensemble dénombrable.
  • mesure.
  • tribu.
  • théorème de convergence dominée.
  • plus surprenant : le paradoxe de Banach-Tarski.

    Ces articles sont écrits de manière plus ou moins scolaire ; je pense qu'il sera aussi intéressant d'aller les relire (voire de les modifier !) au fil de l'avancement du cours pour avoir un autre point de vue.

    Cours

    Je compte suivre le livre "Measure Theory and Integration" de Michael Taylor, à la lettre (enfin en traduisant tout de même).

    Avancement du cours

  • Cours du 22 février : Dénombrabilité. Intégrale de Riemann.
  • Cours du 1 mars : Enoncé du théorème de convergence dominée dans le cadre de l'intégrale de Riemann. Mesure extérieure de Lebesgue ; premières propriétés.
  • Cours du 8 mars : Définition d'un ensemble (Lebesgue-)mesurable et de la mesure de Lebesgue ; sigma-additivité ; les ensembles mesurables forment une tribu. Exemple de partie non mesurable.
  • Cours du 15 mars : Fonctions mesurables (somme, limite, ...) ; tribu engendrée et tribu des boréliens
  • Cours du 22 mars : Définition de l'intégrale d'une fonction étagée et d'une fonction mesurable positive ; premières propriétés ; théorème de convergence monotone et d'échange limite-série.
  • Cours du 29 mars : Lemme de Fatou ; intégrale d'une fonction (intégrable) de signe quelconque. Théorème de convergence dominée. Liens entre l'intégrale de Lebesgue et l'intégrale de Riemann.
  • Cours du 19 avril : Théorème de continuité/dérivabilité des intégrales à paramètre. Théorème d'Egoroff. Théorème de la classe monotone.
  • Cours du 26 avril : Définition de la tribu-produit et préliminaires à la construction de a mesure-produit
  • Le cours du 3 mai est annulé.
  • Cours du 10 mai : Mesure-produit (existence, unicité). Théorèmes de Tonelli et de Fubini.
  • Cours du 17 mai : Théorème du changement de variables.
  • Cours du 31 mai : Exemples de changement de variables ; révisions.
  • L'examen aura lieu le lundi 7 juin.

    Feuilles d'exercices

  • Feuille 1
  • Feuille 2
  • Feuille 3
  • Feuille 4
  • Feuille 5
  • Feuille 6
  • Feuille 7
  • Feuille 8

    Examen partiel

    Il n'y a pas d'examen partiel à proprement dit ; ce sont les khôlles qui tiennent lieu de contrôle continu. J'ai néanmoins distribué le sujet d'un examen partiel virtuel pour que vous puissiez situer votre niveau.

    Examen final

    Le sujet et le corrige. Voici également le sujet de la seconde session.

    Khôlles

    Les khôlles débuteront le lundi 8 mars. L'ordre de passage se trouve sur TOMUSS.

    Questions de cours

    Ce sont les questions qui sont susceptibles de vous être posées pour l'examen final.

    1. Qu'est-ce qu'un ensemble dénombrable ? Savoir donner (une esquisse de) la démonstration que Z et Q sont dénombrables.
    2. Définition de l'intégrale de Riemann.
    3. Donner la définition de la mesure extérieure de Lebesgue m*.
    4. Montrer que la mesure extérieure d'un ensemble dénombrable est nulle.
    5. Donner la définition de la mesure intérieure de Lebesgue, et celle d'un ensemble Lebesgue-mesurable.
    6. Donner la définition d'une tribu et d'une mesure.
    7. Donner la définition d'une fonction mesurable.
    8. Donner la définition (en 3 étapes) de l'intégrale de Lebesgue.
    9. Construire une suite croissante de fonctions étagées positives qui converge vers une fonction mesurable positive donnée.
    10. Enoncer le théorème de convergence monotone, le lemme de Fatou et le théorème de convergence dominée.
    11. Savoir démontrer le théorème d'échange série-intégrale pour les séries de fonctions positives.
    12. Savoir énoncer le théorème de la classe monotone (et définir les concepts qui y interviennent).
    13. Comment est définie la mesure-produit ?
    14. Enoncer le théorème de Tonelli.
    15. Enoncer le théorème de changement de variables.
    16. Savoir calculer l'intégrale gaussienne à l'aide d'une intégrale double et d'un changement de variables.

    Contact

    Je vous invite à consulter régulièrement cette page, mise à jour régulièrement, pour en savoir plus.

    N'hésitez pas à me contacter par e-mail, ni à venir me voir dans mon bureau (Braconnier, 227) dans lequel je suis fréquemment.

    mèl : aubrun at math . univ-lyon1 . fr

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