10 Propriétés particulières des evn de dimension finie.

10.1 Complétude

$\bigstar$ Théorème 2.33.

Tout evn de dimension finie est complet.

Démonstration :

C’est bien connu en dimension $1$ . On montre donc le résultat par récurrence sur la dimension. On suppose donc le résultat acquis en dimension strictement inférieure à $n$ , soit $(E,||.||)$ de dimension $n$ . Soit $\phi$ une forme linéaire non nulle sur $E$ , son noyau $F$ est de dimension $(n-1)$ , donc par hypothèse de récurrence $(F,||.||)$ (muni de la restriction de la norme de $E$ ) est complet. Par conséquent $F$ est fermé dans $E$ , donc $\phi$ est continue.

Soit $e\in E$ avec $\phi(e)=1$ . L’isomorphisme linéaire $u:(\lambda,f)\to\lambda e+f$ de $\mathbb{K}\times F$ (avec la norme produit donc complet par la proposition 6) sur $E$ est continue ( $(1+||e||)$ -lipschitzien). Son isomorphisme réciproque est donné par :

\forall x\in E,\ \ u^{-1}(x)=(\phi(x),x-\phi(x)e).

$u^{-1}$ est donc aussi continue comme $\phi$ . $u^{-1}$ étant lipschitzienne (car linéaire continue et par la proposition 2.29 ), si $(x_{n})$ , suite de $E$ , est de Cauchy $u^{-1}(x_{n})\in\mathbb{K}\times F$ l’est aussi donc converge par complétude de $\mathbb{K}\times F$ , d’où $x_{n}=u(u^{-1}(x_{n}))$ converge aussi par continuité de $u^{-1}$ . □

10.2 Applications linéaires

Rappel 2.9.

Si $E$ de dimension $n$ et $F$ de dimension $p$ . Soit $(e_{1},...,e_{n})$ une base de $E$ , $(f_{1},...,f_{p})$ une base de $F$ . Une application linéaire $u$ est décrite par sa matrice $A=(a_{ij})_{i\in[1,p],j\in[1,n]}$ dans ces bases. Alors, si $x=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_{j}e_{j}$ et $y=u(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^{p}y_{i}f_{i}$ , on rappelle que :

y_{i}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}.

On définit aussi la base duale $(e_{1}^{*},...,e_{n}^{*})$ de l’ev des formes linéaires sur $E$ caractérisés par $e_{j}^{*}(e_{k})=1$ si $j=k$ et $0$ sinon. En conséquence, pour tout $x\in E$ :

u(x)=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_{j}u(e_{j})=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}e_{j}% ^{*}(x)u(e_{j}).

$\bigstar$ Théorème 2.34.

Toute application linéaire entre evn de dimensions finies est continue (et même lipschitzienne).

Démonstration :

En utilisant la représentation du rappel

u=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}u(e_{i})e_{i}^{*},

il suffit de montrer que les formes linéaires $e_{i}^{*}$ sont continues. Mais $\operatorname{Ker}e_{i}^{*}$ est un sous-espace vectoriel de dimension fini donc complet (Théorème 2.33), donc fermé (proposition 2.16) dans $E$ , d’où la continuité voulue (proposition 2.30). La lipschitzianité vient de la proposition 2.29. □

10.3 Équivalence des normes et conséquences.

$\bigstar$ Théorème 2.35.

Toutes les normes d’un espace vectoriel normé de dimension finie sont équivalentes.

Démonstration :

Si $||.||_{1}$ et $||.||_{2}$ sont deux normes sur $E$ , l’application linéaire identité $u=Id_{E}$ vu de $(E,||.||_{1})$ vers $(E,||.||_{2})$ est continue ainsi que son inverse $u^{-1}$ (théorème 2.34), donc elles sont $C$ et $1/c$ -lipschitzienne respectivement (proposition 2.29). On en déduit, pour tout $x\in E$ :

||x||_{2}=||u(x)-u(0)||_{2}\leq C||x||_{1},

||x||_{1}=||u^{-1}(x)-u^{-1}(0)||_{1}\leq\frac{1}{c}||x||_{2},

d’où l’équivalence des normes souhaitée. □

Remarque 2.10.

Sur $R^{n}$ on peut donc parler de continuité, limite etc. sans préciser la norme.

Proposition 2.36.

Soient $E$ un evn, $A\subset E$ , $f:A\to\mathbb{R}^{n}$ . Si $x\in A$ , on note $f(x)=(f_{1}(x),...,f_{n}(x))$ où les $f_{i}$ sont les fonctions composantes de $f$ : $f_{i}:A\to\mathbb{R}$ .

Soit $x\in\overline{A}$ et $b=(b_{1},...,b_{n})\in\mathbb{R}^{n}$ , alors on a l’équivalence :

\lim_{x\to a}f(x)=b\Longleftrightarrow\forall i=1...n\lim_{x\to a}f_{i}(x)=b_{% i}.

Démonstration :

On a $f_{i}=p_{i}\circ f$ , où $p_{i}$ est i-ème projection $p_{i}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ définie par $p_{i}(x_{1},...,x_{n})=x_{i}$ . $p_{i}$ est continue d’après l’exemple 2.14.2.

Si $\lim_{x\to a}f(x)=b$ , on déduit $\lim_{x\to a}f_{i}(x)=b_{i}$ d’après le Théorème de composition des limites.

Réciproquement, on munit $\mathbb{R}^{n}$ de la norme $||.||_{\infty}$ . Si pour tout $i$ $\lim_{x\to a}f_{i}(x)=b_{i}$ on a donc pour $\epsilon>0$ , l’existence de $\delta_{i}>0$ tel que si $||x-a||\leq\delta_{i}$ , $||f_{i}(x)-b_{i}||\leq\epsilon$ . On pose $\delta=\min_{i=1...n}(\delta_{i})>0$ . Donc si $||x-a||\leq\delta$ , pour tout $i$ $||f_{i}(x)-b_{i}||\leq\epsilon$ donc $||f(x)-b||_{\infty}=\max||f_{i}(x)-b_{i}||\leq\epsilon$ .

□

Corollaire 2.37.

Soient $E$ un evn, $A\subset E$ , $f:A\to\mathbb{R}^{n}$ . Si $x\in A$ , on note $f(x)=(f_{1}(x),...,f_{n}(x))$ où les $f_{i}$ sont les fonctions composantes de $f$ : $f_{i}:A\to\mathbb{R}$ . $f$ est continue sur $A$ (resp. en $a\in A$ ) si et seulement si les $f_{i}$ sont continues sur $A$ (en resp. $a\in A$ ).

La preuve du résultat suivant est semblable et omise.

Proposition 2.38.

Soit $X_{n}=(x^{(1)}_{n},...,x^{(p)}_{n})$ une suite de $\mathbb{R}^{p}$ et soit $L=(\ell_{1},...,\ell_{p})$ . Alors $X_{n}$ converge vers $L$ si et seulement si pour tout $i=1...p$ $x^{(i)}_{n}\to\ell_{i}$ .

Proposition 2.39.

Soient $A\subset\mathbb{R}^{n}$ , $p_{i}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ la $i$ -ème projection définie par $p_{i}(x_{1},...,x_{n})=x_{i}$ . Alors $A$ est bornée dans $\mathbb{R}^{n}$ si et seulement si pour tout $i$ , $p_{i}(A)$ est bornée dans $\mathbb{R}$ .

10 Propriétés particulières des evn de dimension finie.

10.1 Complétude

★ Théorème 2.33.

10.2 Applications linéaires

Rappel 2.9.

★ Théorème 2.34.

10.3 Équivalence des normes et conséquences.

★ Théorème 2.35.

Remarque 2.10.

Proposition 2.36.

Corollaire 2.37.

Proposition 2.38.

Proposition 2.39.

$\bigstar$ Théorème 2.33.

$\bigstar$ Théorème 2.34.

$\bigstar$ Théorème 2.35.