2 Métriques équivalentes

$\bigstar$ Définition 2.3.

Soit $X$ un ensemble. Deux distances $d_{1}$ et $d_{2}$ sur X sont dites équivalentes si

\exists c,C>0,\forall x,y\in X,\ \ cd_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq Cd_{1}(x,y).

On note alors $d_{1}\sim d_{2}$ . Des normes sont équivalentes si les distances induites le sont.

Remarque 2.1.

L’équivalence des distances est une relation d’équivalence, c’est à dire qu’elle est réflexive ( $d_{1}\sim d_{1}$ ), symétrique ( $d_{1}\sim d_{2}\Rightarrow d_{2}\sim d_{1}$ ) et transitive ( $d_{1}\sim d_{2},d_{2}\sim d_{3}\Rightarrow d_{1}\sim d_{3}$ ). Si deux normes sont équivalentes les notions d’analyses (limite, continuité, …) sont les mêmes pour les deux normes.

Exemple 2.6.

Dans $\mathbb{R}^{n}$ , $||.||_{1},||.||_{2},||.||_{\infty}$ sont équivalentes (cf. TD de L2). On verra plus tard qu’en dimension finie toutes les normes sont équivalentes.

2 Métriques équivalentes

★ Définition 2.3.

Remarque 2.1.

Exemple 2.6.

$\bigstar$ Définition 2.3.