4 Suites dans un espace métrique

On rappelle qu’une suite de $E$ est une application $u:\mathbb{N}\to E$ notée $(u_{n})_{n\geq 0}$ .

4.1 Convergence

Définition 2.6 (Convergence).

Soit $(u_{n})$ une suite d’un espace métrique $(X,d)$ . On dit que $u_{n}$ converge vers $l\in X$ (et on note $l=\lim_{n\to\infty}u_{n}$ ou $u_{n}\rightarrow_{n\to\infty}l$ ) si la suite numérique $d(u_{n},l)$ converge vers 0, c’est-à-dire :

\forall\epsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N},\forall n\geq n_{0},\ \ d(u_{n},l% )\leq\epsilon.

Remarque 2.2.

Ceci équivaut à $\forall\epsilon>0,\exists n_{0}\in\mathbb{N},\forall n\geq n_{0},\ \ u_{n}\in B% (l,\epsilon).$ Comme dans $\mathbb{R}$ on a unicité de la limite (justifiant la notation). En effet si on a deux limites $l_{1},l_{2}$ pour $n$ grand $u_{n}\in B(l_{1},\epsilon)\cap B(l_{2},\epsilon)$ donc par inégalité triangulaire $d(l_{1},l_{2})\leq d(l_{1},u_{n})+d(u_{n},l_{2})\leq 2\epsilon$ Comme $\epsilon>0$ arbitraire $d(l_{1},l_{2})=0$ , soit par l’axiome de séparation $l_{1}=l_{2}$ .

Proposition 2.3.

(i)

Si $u_{n}\to u$ , alors pour tout $x$ , $d(u_{n},x)\to d(u,x)$ .
(ii)

Toute suite convergente est bornée (réciproque fausse).
(iii)

Si $E$ est un evn $u_{n}\to u,v_{n}\to v$ alors pour toute suite $\lambda_{n}\in\mathbb{K}$ , tel que $\lambda_{n}\to\lambda$ on a $\lambda_{n}u_{n}+v_{n}\to\lambda u+v$ .

Démonstration :

(i)

Par l’inégalité triangulaire inverse $|d(u_{n},x)-d(u,x)|\leq d(u_{n},u)$
(ii)

Par (i) et le cas réel.
(iii)

Vu $\lambda_{n}u_{n}+v_{n}-(\lambda u+v)=\lambda_{n}(u_{n}-u)+(v_{n}-v)+(\lambda_{% n}-\lambda)u$ , homogénéité et inégalité triangulaire implique :

$||\lambda_{n}u_{n}+v_{n}-(\lambda u+v)||\leq|\lambda_{n}|||u_{n}-u||+||v_{n}-v% ||+|\lambda_{n}-\lambda|||u||\to 0.$

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4.2 Suite extraite, valeur d’adhérence

Définition 2.7.

Soit $(u_{n})$ une suite de $X$ on appelle suite extraite ou sous-suite une suite de la forme $v_{n}=u_{\phi(n)}$ , pour $\phi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ une application strictement croissante

Définition 2.8.

On appelle valeur d’adhérence d’une suite $(u_{n})$ toute limite d’une suite extraite convergente.

Proposition 2.4.

Toute suite extraite d’une suite convergente converge vers la même limite. (Autrement dit, toute suite convergente n’a qu’une seule valeur d’adhérence, sa limite.)

Démonstration :

Supposons $u_{n}\to l$ et si $v_{n}$ une suite extraite, $d(v_{n},l)$ est extraite de $d(u_{n},l)$ ( le résultat est donc une conséquence du cas réel). □