8 Fonctions continues

8.1 Définitions équivalentes

On considère $(X,d_{X}=d)$ et $(Y,d_{Y}=d)$ deux espaces métriques.

$\bigstar$ Définition 2.17.

Soient $A\subset X,Y$ des espaces métriques et $f:A\to Y$ .

25.

Soit $a\in A$ , $f$ est dit continue en a si $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ , soit

$\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in Ad_{X}(x,a)<\delta\Rightarrow d% _{Y}(f(x),f(a))<\epsilon.$
26.

$f$ est continue sur $A$ si $f$ est continue en tout point de $A$ . Autrement dit,

$\forall a\in A,\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in Ad_{X}(x,a)<% \delta\Rightarrow d_{Y}(f(x),f(a))<\epsilon.$

Remarque: $\delta=\delta(a,\epsilon)$ dépend à la fois de $\epsilon$ et de $a$ . Vous avez vu en L2, le résultat suivant.

$\bigstar$ Proposition 2.21 (Caractérisation séquentielle de la continuité).

Soit $f:X\to Y$ . L’application $f$ est continue en $x\in X$ si et seulement si pour toute suite $(x_{n})$ d’éléments de $X$ : si $x_{n}$ converge vers $x$ , alors $f(x_{n})$ converge vers $f(x)$ .

Démonstration :

Supposons que $f$ tend vers $l=f(x)$ en $x$ . Soit $\epsilon>0$ il existe $\eta>0$ tel que $f(B(x,\eta))\subset B(l,\epsilon)$ . Vu que $x_{n}\to a$ il existe $N$ , tel que $\forall n\geq N,d(x_{n},a)\leq\eta$ donc $\forall n\geq N,d(f(x_{n}),l)\leq\epsilon$ . Ceci indique que $f(x_{n})\to l$ .

Réciproquement, supposons par contraposition, qu’il existe $\epsilon>0$ tel que pour tout $\eta>0$ $f(B(x,\eta))\cap B(l,\epsilon)^{c}\neq\emptyset$ . Donc, en prenant, $\eta=1/n$ , on obtient $x_{n}\in B(x,1/n)$ , tel que $d(f(x_{n}),l)\geq\epsilon$ . Pour tout $n$ , donc $x_{n}\to a$ et $f(x_{n})$ ne converge pas vers $l$ comme voulu. □

$\bigstar$ Proposition 2.22 (Caractérisation topologique de la continuité).

Soit $f:X\to Y$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

27.

$f$ est continue sur $X$ .
28.

Pour tout ouvert $O$ de $Y$ , l’image inverse $f^{-1}(O)$ est ouverte dans $X$ .
29.

Pour tout fermé $F$ de $Y$ , l’image inverse $f^{-1}(F)$ est fermée dans $X$ .

Démonstration :

$2.\Longleftrightarrow 3.$ vient de $(f^{-1}(B))^{c}=(f^{-1}(B^{c}))$ et de la relation fermés/ouverts.

$1.\Rightarrow 2.$ Soit $O$ un ouvert de $Y$ et $x\in O$ , il existe et on choisit $\epsilon(x)>0$ tel que $B(x,\epsilon(x))\subset O$ . Par continuité de $f$ , soit $y\in f^{-1}(O)$ , $f(y)=x\in O$ , il existe $\delta(y)>0$ tel que $f(B(y,\delta(y)))\subset B(x,\epsilon(f(y)))\subset O$ . Donc $B(y,\delta(y))\subset f^{-1}(O)$ et comme $y$ est arbitraire, $f^{-1}(O)$ est ouvert.

$2.\Rightarrow 1.$ Soit $a\in A$ . Montrons que $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ . Soit $\epsilon>0$ . Par 1. $V=f^{-1}(B(f(a),\epsilon))$ est un ouvert $X$ . Or $a\in V$ donc $\exists\delta>0$ tel que $B(a,\delta)\subset V$ . En conséquence

f(B(a,\delta))\subset f(V)=f(f^{-1}(B(f(a),\epsilon)))\subset B(f(a),\epsilon),

ce qui conclut. □

Corollaire 2.23 (Stabilité par composition de la continuité).

Si $f:X\to Y$ et $g:Y\to Z$ sont continues, alors $g\circ f:X\to Z$ est continue.

Démonstration :

Pour tout ouvert $U$ de $Z$ , $g^{-1}(U)$ est ouvert de $Y$ par coninuité de $g$ , puis $f^{-1}(g^{-1}(U))$ est ouvert par coninuité de $f$ , mais $f^{-1}(g^{-1}(U))=(g\circ f)^{-1}(U)$ . Comme c’est vrai pour tout ouvert $U$ , on déduit de nouveau du théorème précédent que $g\circ f$ est continue. □

Exemple 2.14.

30.

$f:X\to\mathbb{R}$ définit par $f(x)=d(x,z)$ est continue sur $E$ car $|d(x,z)-d(x_{0},z)|\leq d(x,x_{0})$ (inégalité triangulaire inverse).
31.

Soit $0\leq p\leq n=r+s$ , $p:R^{n}\to\mathbb{R}^{s}$ définie par si $x=(y,z)\in\mathbb{R}^{n}=\mathbb{R}^{r}\times\mathbb{R}^{s}$ , $p(x)=z$ . On munit $\mathbb{R}^{n}$ et $\mathbb{R}^{s}$ des normes $||.||_{1}$ , on voit $||p(x)||_{1}\leq||x||_{1}$ , donc comme $p$ est linéaire, $p$ est continue car $||p(x)-p(y)||_{1}=||p(x-y)||_{1}\leq||x-y||_{1}$ .

Remarque 2.6.

Il résulte des théorèmes sur les limites que les opérations algébriques usuelles (somme, produit, composition) préservent la continuité. En particulier si $P$ est une fonction polynomiale $P:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}$ c’est à dire de la forme $P(x)=\displaystyle\sum_{\mathrm{finie}}a_{i_{1},...,i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\dots x% _{n}^{i_{n}}$ est continue comme somme et produits des projections $(x_{1},...,x_{n})\mapsto x_{i}$ .

$\bigstar$ Théorème 2.24 (de prolongement des identités).

Si $f,g:(X,d)\to(Y,d)$ sont deux applications continues et $D\subset X$ est dense. Si $f$ et $g$ sont égales sur $D$ , alors elles sont égales (sur tout $X$ ).

Démonstration :

Soit $x\in X$ , on sait par caractérisation séquentielle de l’adhérence qu’il existe $a_{n}\in D$ avec $a_{n}\to x$ . Par continuité de $f, g$ en $x$ , et caractérisation séquentielle de la continuité: $f(a_{n})\to f(x),g(a_{n})\to g(x)$ . Mais on sait que $f(a_{n})=g(a_{n})$ par hypothèse, donc par unicité de la limite dans $Y$ , $f(x)=g(x)$ . Comme $x$ est arbitraire, on a $f=g$ . □

8.2 Homéomorphismes, Continuité uniforme, Lipschitzianité

Définition 2.18.

Une application $f:X\to Y$ est dite un homéomorphisme (ou une application bicontinue) si elle est bijective et si $f:X\to Y$ et $f^{-1}:Y\to X$ sont continues.

$\bigstar$ Définition 2.19.

Une application $f:X\to Y$ est uniformément continue si :

\forall\epsilon>0,\exists\delta>0:\forall(x,x^{\prime})\in X^{2},d(x,x^{\prime% })\leq\delta\Rightarrow d(f(x),f(y))\leq\epsilon.

Une application $f:X\to Y$ est K-lipschitzienne avec $K\in[0,+\infty[$ si :

\forall(x,y)\in X^{2},d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y).

Remarque: dans la continuité uniforme, $\delta=\delta(\epsilon)$ ne dépend PAS de $x$ , contrairement au cas de la continuité.

Proposition 2.25.

Une application uniformément continue est continue.

Proposition 2.26.

Un application K-lipschitzienne est uniformément continue.

Démonstration :

Pour $\epsilon>0$ dans la définition il suffit de prendre $\delta=\epsilon/K$ . □

Exemple 2.15.

$f:\mathbb{R}_{+}\to\mathbb{R}$ $f(x)=\sqrt{x}$ est uniformément continue mais pas lipschitzienne (cf TD.). Toute application uniformément continue est continue mais la réciproque est fausse : $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $g(x)=x^{2}$ n’est pas uniformément continue sur $\mathbb{R}$ (cf TD.).

$x\mapsto d(x,z)$ est 1-lipschitzienne $X\to\mathbb{R}$ , $(x,y)\mapsto x+y$ est 2-lipschitzienne $E\times E\to E$ .

Le résultat suivant ne doit pas être confondu avec le Théorème 2.24qui ne donne que l’unicité d’un prolongement mais pas son existence.

$\bigstar$ Théorème 2.27 (de prolongement des applications uniformément continues).

Si $f:(D,d)\to(Y,d)$ est une application uniformément continue, $D\subset(X,d)$ est dense et $(Y,d)$ est complet. Alors $f$ admet un unique prolongement continue $g:(X,d)\to(Y,d)$ et celui-ci est uniformément continue.

Démonstration :

L’unicité vient du Théorème 2.24.

Soit $x\in X$ , et par densité $x_{n}\in D$ , $x_{n}\to x$ . Comme $f$ est uniformément continue soit $\epsilon>0$ et $\delta>0$ tel que $d_{X}(x,y)<\delta\Rightarrow d_{Y}(f(x),f(y)\leq\epsilon$ . Si on prend $N$ tel que $d(x_{n},x_{m})<\delta$ , pour $n,m\geq N$ , on voit que $d_{Y}(f(x_{n}),f(x_{m}))\leq\epsilon$ , donc comme $\epsilon$ est arbitraire, $(f(x_{n}))$ est de Cauchy. Donc $(f(x_{n}))$ converge vers $z\in Y$ par complétude.

Soit $y_{n}\to x$ une autre telle suite, alors $d(f(y_{n}),z)\leq d(f(x_{n}),f(y_{n}))+d(f(x_{n}),z)\to 0$ , car $d(f(x_{n}),f(y_{n}))\leq\epsilon$ dès que $d(x_{n},y_{n})\leq\delta$ et on voit donc que $d(x_{n},y_{n})\to 0$ implique que $d(f(x_{n}),f(y_{n}))\to 0$ . Donc la limite $z$ ne dépend pas de la suite choisie. On pose $g(x)=z$ .

En particulier, $g$ étend $f$ (en considérant la suite constante). Soit $z\in X$ avec $d(x,z)<\delta$ et $z_{n}\to z$ alors pour $n$ assez grand $d(x_{n},z_{n})<\delta$ donc $d_{Y}(f(x_{n}),f(z_{n})\leq\epsilon$ et on déduit en passant à la limite $d_{Y}(g(x),g(z))\leq\epsilon$ . Donc $g$ est uniformément continue (avec même constantes que $f$ ). □

8.3 Fonctions continues bornées

Exemple 2.16.

Soit $X$ un espace métrique, $F$ un e.v.n. et $C_{b}(X,F)$ l’ensemble des fonctions continues bornées sur $X$ à valeur dans $F$ , on a la norme uniforme (exo: vérifier que c’est bien une norme):

||f||_{\infty}=\sup_{x\in X}{||f(x)||_{F}}

Le résultat suivant a été vu en L2 pour $F=\mathbb{R}$ .

$\bigstar$ Théorème 2.28.

Les espaces $(C_{b}(X,F),||.||_{\infty})$ , pour $X$ espace métrique et $F$ espace de Banach est un espace de Banach.

Démonstration :

On a vu que ce sont des espaces normés. Montrons qu’ils sont complets. Soit $f_{n}$ une suite de Cauchy, donc comme $||f_{p}(x)-f_{q}(x)||_{F}\leq||f_{p}-f_{q}||_{\infty}$ , pour tout $x\in X$ , $(f_{p}(x))$ est de Cauchy, donc par complétude de $F$ , converge vers une valeur $f(x).$ Soient $p, q$ tels que pour tout $x$ $||f_{p}(x)-f_{q}(x)||\leq\epsilon$ en prenant la limite $q\to\infty$ , on déduit $||f_{p}(x)-f(x)||\leq\epsilon$ donc $||f_{p}-f||\leq\epsilon$ . Donc $f_{p}$ converge uniformément vers $f$ , donc $f$ est continue (résultat de L2 ou exo). De plus, $||f_{p}||_{\infty}$ est convergente, donc de Cauchy, donc bornée, disons par $M$ . En passant à la limite dans l’inégalité $||f_{p}(x)||_{F}\leq M$ , on obtient $||f(x)||_{F}\leq M$ et donc $f$ est aussi bornée par $M$ . Donc la limite $f$ est continue bornée et $f_{p}$ converge vers $f$ dans $C_{b}(X,F)$ . Ce qui donne la complétude. □

8 Fonctions continues

8.1 Définitions équivalentes

★ Définition 2.17.

★ Proposition 2.21 (Caractérisation séquentielle de la continuité).

★ Proposition 2.22 (Caractérisation topologique de la continuité).

Corollaire 2.23 (Stabilité par composition de la continuité).

Exemple 2.14.

Remarque 2.6.

★ Théorème 2.24 (de prolongement des identités).

8.2 Homéomorphismes, Continuité uniforme, Lipschitzianité

Définition 2.18.

★ Définition 2.19.

Proposition 2.25.

Proposition 2.26.

Exemple 2.15.

★ Théorème 2.27 (de prolongement des applications uniformément continues).

8.3 Fonctions continues bornées

Exemple 2.16.

★ Théorème 2.28.

$\bigstar$ Définition 2.17.

$\bigstar$ Proposition 2.21 (Caractérisation séquentielle de la continuité).

$\bigstar$ Proposition 2.22 (Caractérisation topologique de la continuité).

$\bigstar$ Théorème 2.24 (de prolongement des identités).

$\bigstar$ Définition 2.19.

$\bigstar$ Théorème 2.27 (de prolongement des applications uniformément continues).

$\bigstar$ Théorème 2.28.