8 Fonctions continues

Supposons que $f$ tend vers $l=f\left(x\right)$ en $x$. Soit $ϵ>0$ il existe $\eta >0$ tel que $f\left(B(x,\eta )\right)\subset B(l,ϵ)$. Vu que $x_n\to a$ il existe $N$, tel que $\forall n\ge N,d(x_n,a)\le \eta$ donc $\forall n\ge N,d(f\left(x_n\right),l)\le ϵ$. Ceci indique que $f\left(x_n\right)\to l$.

Réciproquement, supposons par contraposition, qu’il existe $ϵ>0$ tel que pour tout $\eta >0$ $f\left(B(x,\eta )\right)\cap B{(l,ϵ)}^c\ne \mathrm{\emptyset }$. Donc, en prenant, $\eta =1/n$, on obtient $x_n\in B\left(x\mathrm{,1}/n\right)$, tel que $d(f\left(x_n\right),l)\ge ϵ$. Pour tout $n$, donc $x_n\to a$ et $f\left(x_n\right)$ ne converge pas vers $l$ comme voulu.   □

$2.⟺3.$ vient de ${\left(f^{-1}\left(B\right)\right)}^c=\left(f^{-1}\left(B^c\right)\right)$ et de la relation fermés/ouverts.

$1.\Rightarrow 2.$ Soit $O$ un ouvert de $Y$ et $x\in O$, il existe et on choisit $ϵ\left(x\right)>0$ tel que $B(x,ϵ\left(x\right))\subset O$. Par continuité de $f$, soit $y\in f^{-1}\left(O\right)$, $f\left(y\right)=x\in O$, il existe $\delta \left(y\right)>0$ tel que $f\left(B(y,\delta \left(y\right))\right)\subset B(x,ϵ\left(f\left(y\right)\right))\subset O$. Donc $B(y,\delta \left(y\right))\subset f^{-1}\left(O\right)$ et comme $y$ est arbitraire, $f^{-1}\left(O\right)$ est ouvert.

$2.\Rightarrow 1.$ Soit $a\in A$. Montrons que ${lim}_{x\to a}f\left(x\right)=f\left(a\right)$. Soit $ϵ>0$. Par 1. $V=f^{-1}\left(B(f\left(a\right),ϵ)\right)$ est un ouvert $X$. Or $a\in V$ donc $\exists \delta >0$ tel que $B(a,\delta )\subset V$. En conséquence

ce qui conclut.   □

Pour tout ouvert $U$ de $Z$, $g^{-1}\left(U\right)$ est ouvert de $Y$ par coninuité de $g$, puis $f^{-1}\left(g^{-1}\left(U\right)\right)$ est ouvert par coninuité de $f$, mais $f^{-1}\left(g^{-1}\left(U\right)\right)={\left(g\circ f\right)}^{-1}\left(U\right)$. Comme c’est vrai pour tout ouvert $U$, on déduit de nouveau du théorème précédent que $g\circ f$ est continue.   □

Soit $x\in X$, on sait par caractérisation séquentielle de l’adhérence qu’il existe $a_n\in D$ avec $a_n\to x$. Par continuité de $f,g$ en $x$, et caractérisation séquentielle de la continuité: $f\left(a_n\right)\to f\left(x\right),g\left(a_n\right)\to g\left(x\right)$. Mais on sait que $f\left(a_n\right)=g\left(a_n\right)$ par hypothèse, donc par unicité de la limite dans $Y$, $f\left(x\right)=g\left(x\right)$. Comme $x$ est arbitraire, on a $f=g$.   □

Pour $ϵ>0$ dans la définition il suffit de prendre $\delta =ϵ/K$.   □

L’unicité vient du Théorème 2.24.

Soit $x\in X$, et par densité $x_n\in D$, $x_n\to x$. Comme $f$ est uniformément continue soit $ϵ>0$ et $\delta >0$ tel que . Si on prend $N$ tel que , pour $n,m\ge N$, on voit que $d_Y(f\left(x_n\right),f\left(x_m\right))\le ϵ$, donc comme $ϵ$ est arbitraire, $\left(f\left(x_n\right)\right)$ est de Cauchy. Donc $\left(f\left(x_n\right)\right)$ converge vers $z\in Y$ par complétude.

Soit $y_n\to x$ une autre telle suite, alors $d(f\left(y_n\right),z)\le d(f\left(x_n\right),f\left(y_n\right))+d(f\left(x_n\right),z)\to 0$, car $d(f\left(x_n\right),f\left(y_n\right))\le ϵ$ dès que $d(x_n,y_n)\le \delta$et on voit donc que $d(x_n,y_n)\to 0$ implique que $d(f\left(x_n\right),f\left(y_n\right))\to 0$. Donc la limite $z$ ne dépend pas de la suite choisie. On pose $g\left(x\right)=z$.

En particulier, $g$ étend $f$ (en considérant la suite constante). Soit $z\in X$ avec et $z_n\to z$ alors pour $n$ assez grand donc $d_Y(f\left(x_n\right),f\left(z_n\right)\le ϵ$ et on déduit en passant à la limite $d_Y(g\left(x\right),g\left(z\right))\le ϵ$. Donc $g$ est uniformément continue (avec même constantes que $f$).   □

On a vu que ce sont des espaces normés. Montrons qu’ils sont complets. Soit $f_n$ une suite de Cauchy, donc comme ${\Vert f_p\left(x\right)-f_q\left(x\right)\Vert }_F\le {\Vert f_p-f_q\Vert }_{\mathrm{\infty }}$, pour tout $x\in X$, $\left(f_p\left(x\right)\right)$ est de Cauchy, donc par complétude de $F$, converge vers une valeur $f\left(x\right).$ Soient $p,q$ tels que pour tout $x$ $\Vert f_p\left(x\right)-f_q\left(x\right)\Vert \le ϵ$ en prenant la limite $q\to \mathrm{\infty }$, on déduit $\Vert f_p\left(x\right)-f\left(x\right)\Vert \le ϵ$ donc $\Vert f_p-f\Vert \le ϵ$. Donc $f_p$ converge uniformément vers $f$, donc $f$ est continue (résultat de L2 ou exo). De plus, ${\Vert f_p\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ est convergente, donc de Cauchy, donc bornée, disons par $M$. En passant à la limite dans l’inégalité ${\Vert f_p\left(x\right)\Vert }_F\le M$ , on obtient ${\Vert f\left(x\right)\Vert }_F\le M$ et donc $f$ est aussi bornée par $M$. Donc la limite $f$ est continue bornée et $f_p$ converge vers $f$ dans $C_b(X,F)$. Ce qui donne la complétude.   □