6 Ouverts dans un espace métrique

Soit $(X,d)$ un espace métrique.

$\bigstar$ Définition 2.11.

Une partie $O\subset X$ est un ouvert (ou une partie ouverte) si

\forall x\in O,\exists r>0,\ \ B(x,r)\subset O.

6.1 Exemples d’ouverts et propriétés

$X,\emptyset$ sont des ouverts de $X$ . $[a,b],[a,b[$ ne sont pas ouverts dans $\mathbb{R}$ mais $]a,b[$ l’est.

Proposition 2.9.

Les boules ouvertes sont ouvertes.

On remarquera que le mot ouvert a deux sens dans ”boules ouvertes” et ”parties ouvertes” mais qu’ils sont cohérents grâce à la proposition (les boules fermées ne sont pas des ouverts, cf. TD).

Démonstration :

Soit $a\in X,r>0$ montrons que $B(a,r)$ est un ouvert ( $B(a,0)$ est vide donc ouvert). Soit $x\in B(a,r)$ , $r-d(x,a)>0$ , il suffit donc de montrer que :

B(x,r-d(x,a))\subset B(a,r).

C’est une conséquence de l’inégalité triangulaire. En effet, si $y\in B(x,r-d(x,a))$ , alors $d(y,a)\leq d(y,x)+d(x,a)<(r-d(x,a))+d(x,a)=r$ , donc $y\in B(a,r)$ . □

$\bigstar$ Proposition 2.10.

1.

La partie vide $\emptyset$ et $X$ sont des ouverts.
2.

la réunion d’une famille d’ouverts est ouverte.
3.

l’intersection d’une famille finie d’ouverts est ouverte.

Remarque 2.3.

On appelle topologie une famille de parties d’un ensemble, qui, comme la famille des ouverts d’un espace métrique, vérifie ces trois propriétés. La famille des ouverts de $X$ est donc appelée topologie (métrique) de $X$ . $\cap_{n\in\mathbb{N}}B(a,1/n)=\{a\}$ qui n’est pas ouvert dans $X$ montre que l’hypothèse ”finie” est cruciale dans 3.

Démonstration :

1.

évident.
2.

Soit $(O_{i})_{i\in I}$ une famille d’ouverts. On peut supposer I non vide (sinon l’union vide étant vide on est ramené à 1). Soit $x\in O=\cup_{i\in I}O_{i}$ , donc il existe $j\in I$ , $x\in O_{j}$ . Comme $O_{j}$ est ouvert il existe $r>0$ , $B(x,r)\subset O_{j}\subset O$ . Donc $O$ est ouvert.
3.

Soit $O_{1},...,O_{n}$ une famille finie d’ouverts. Soit $x\in O=O_{1}\cap\dots\cap O_{n}$ . Comme $x\in O_{i}$ , et $O_{i}$ ouvert, il existe $r_{i}>0,B(x,r_{i})\subset O_{i}$ . Soit $r=\min_{i=1...n}r_{i}>0$ . On déduit de la définition que $B(x,r)\subset B(x,r_{i})\subset O_{i}$ donc $B(x,r)\subset O$ , ce qui montre que $O$ est ouvert.

□

Exemple 2.8.

Soit $O=\{(x,y),x>0\}$ . Montrons que c’est un ouvert de $\mathbb{R}^{2}$ pour la norme $||.||_{\infty}.$ En effet

O=\displaystyle\bigcup_{(x,y)\in O}]0,2x[\times]y-x,y+x[=\displaystyle\bigcup_% {(x,y)\in O}B_{||.||_{\infty}}((x,y),x),

est ouvert comme union d’ouverts.

$\bigstar$ Proposition 2.11 (Ouverts pour la métrique induite).

Soit $A\subset(X,d)$ avec la métrique induite, $O$ est un ouvert de $A$ , si et seulement si il existe un ouvert $U$ de $X$ tel que $O=U\cap A$ .

Démonstration :

On suppose $O$ ouvert de $A$ . Pour chaque $x\in O$ , on fixe $r_{x}>0$ tel que $B_{A}(x,r_{x})\subset O$ . On pose alors

U=\displaystyle\bigcup_{x\in O}B_{X}(x,r_{x})

qui est un ouvert de $X$ par union de boules ouvertes. Or $O\subset U\cap A$ car $r_{x}>0$ donc pour tout $x\in O$ , $x\in B_{X}(x,r_{x})\subset U$ . Et $U\cap A=\displaystyle\bigcup_{x\in O}B_{X}(x,r_{x})\cap A=\displaystyle\bigcup% _{x\in O}B_{A}(x,r_{x})\subset O$ . Donc $U\cap A=O$ .

Réciproquement, comme $U$ est ouvert soit $x\in O\subset U$ , il existe $r>0$ , $B_{X}(x,r)\subset U$ donc $B_{A}(x,r)=B_{X}(x,r)\cap A\subset U\cap A=O$ donc $O$ est ouvert dans $A$ . □

6.2 Intérieur

Définition 2.12.

Soit $A\subset X$ , on dit que x est intérieur à A (ou A est un voisinage de x) si $\exists r>0,B(x,r)\subset A$ .

On note $\mathrm{Int}(A)$ ou $\mathring{A}$ l’ensemble des points intérieurs à A.

$\bigstar$ Proposition 2.12.

$\mathrm{Int}(A)$ est le plus grand ouvert contenu dans A.

Démonstration :

1.

$\mathrm{Int}(A)$ contient tous les ouverts inclus dans A.

Soit $U$ un ouvert contenu dans A. Soit $x\in U$ , alors comme U est ouvert, $\exists r>0,B(x,r)\subset U\subset A$ , donc $x$ est intérieur à A. Ainsi $U\subset\mathrm{Int}(A)$
2.

$\mathrm{Int}(A)$ est un ouvert. Soit $x\in\mathrm{Int}(A)$ . Soit donc $r>0$ tel que $B(x,r)\subset A$ . Comme $B(x,r)$ est ouvert, tout $y\in B(x,r)$ est intérieur à $B(x,r)$ donc intérieur à $A$ . En bilan, $\forall x\in\mathrm{Int}(A),\exists r>0,\ B(x,r)\subset\mathrm{Int}(A)$ , ce qui conclut.

□

Corollaire 2.13 (exo, cf TD).

1.

$A$ ouvert si et seulement si $A=\mathrm{Int}(A)$ .
2.

$A\subset B\Rightarrow\mathrm{Int}(A)\subset\mathrm{Int}(B)$
3.

$\mathrm{Int}(A)\cup\mathrm{Int}(B)\subset\mathrm{Int}(A\cup B)$
4.

$\mathrm{Int}(A)\cap\mathrm{Int}(B)=\mathrm{Int}(A\cap B)$

Exemple 2.9.

Soit $F=\{(x,y),x\geq 0\}$ . Montrons que $Int(F)=O:=\{(x,y),x>0\}.$ On a vu à l’exemple 2.8 que $O$ est ouvert, donc comme $O\subset F,$ on a $O\subset Int(F)$ . Il reste à voir que $Int(F)\cap\{(x,y),x=0\}=\emptyset$ (car alors $Int(F)\subset F-\{(x,y),x=0\}=O$ ). Mais soit ${(-\epsilon,y)}\in B_{||.||_{\infty}}((0,y),\epsilon)\cap F^{c}$ pour tout $\epsilon>0$ , donc $B_{||.||_{\infty}}((0,y),\epsilon)\not\subset F$ donc $(0,y)$ n’est pas intérieur à $F$ , ce qu’il fallait démontrer.

6 Ouverts dans un espace métrique

★ Définition 2.11.

6.1 Exemples d’ouverts et propriétés

Proposition 2.9.

★ Proposition 2.10.

Remarque 2.3.

Exemple 2.8.

★ Proposition 2.11 (Ouverts pour la métrique induite).

6.2 Intérieur

Définition 2.12.

★ Proposition 2.12.

Corollaire 2.13 (exo, cf TD).

Exemple 2.9.

$\bigstar$ Définition 2.11.

$\bigstar$ Proposition 2.10.

$\bigstar$ Proposition 2.11 (Ouverts pour la métrique induite).

$\bigstar$ Proposition 2.12.