7 Fermés dans un espace métrique.

Soit $(X,d)$ un espace métrique.

Rappel 2.4.

Soit $A\subset X$ , on note $A^{c}=\{x\in X\ |\ x\not\in A\}$ le complémentaire de A. On rappelle que $\emptyset^{c}=X,X^{c}=\emptyset,(A^{c})^{c}=A$ , $A\cup A^{c}=X,A\cap A^{c}=\emptyset$ . Les lois de De Morgan impliquent que pour une famille $(A_{i})_{i\in I}$

\left(\displaystyle\bigcup_{i\in I}A_{i}\right)^{c}=\bigcap_{i\in I}A_{i}^{c},

\left(\bigcap_{i\in I}A_{i}\right)^{c}=\displaystyle\bigcup_{i\in I}A_{i}^{c}.

Définition 2.13.

Soit $F\subset X$ . On dit que $F$ est un fermé de $X$ si $F^{c}$ est un ouvert de $X$ .

Le résultat suivant est obtenu en passant au complémentaire le résultat sur les ouverts.

$\bigstar$ Proposition 2.14.

13.

La partie vide $\emptyset$ et $X$ sont des fermés.
14.

l’intersection d’une famille de fermés est fermée.
15.

l’union d’une famille finie de fermés est fermée.

$\bigstar$ Proposition 2.15 (Caractérisation séquentielle des fermés).

Une partie $F$ d’un espace métrique $X$ est fermée si et seulement si toute suite convergente $(x_{n})$ d’éléments de $F$ a sa limite dans $F$ .

Démonstration :

Supposons $F$ fermé. Soit $(x_{n})$ une suite d’éléments de $F$ , convergente vers $x$ . Soit $y\in F^{c}$ , comme $F^{c}$ est ouvert il existe $\epsilon>0$ $B(y,\epsilon)\subset F^{c}$ , d’où $x_{n}\not\in B(y,\epsilon)$ Donc $d(x_{n},y)\geq\epsilon$ . En passant à la limite on déduit

d(x,y)\geq|\begin{array}[]{c}d(x_{n},x)-d(x_{n},y)\end{array}|\geq\epsilon-d(x% _{n},x)\to_{n\to\infty}\epsilon>0,

Donc $d(x,y)\geq\epsilon$ donc $x\neq y$ . Comme $y$ était arbitraire dans $F^{c}$ , $x\in F$ .

Réciproquement, supposons que $F$ n’est pas fermé et montrons que la seconde caractérisation est fausse. Soit $x\in F^{c}$ montrant que $F^{c}$ n’est pas ouvert, donc pour tout $n\in\mathbb{N}$ , $B(x,1/n)\cap F\neq\emptyset$ . Soit $x_{n}\in B(x,1/n)\cap F$ $d(x_{n},x)\leq 1/n\to_{n\to\infty}0$ , donc $(x_{n})$ est une suite d’éléments de $F$ qui converge vers $x\in F^{c}$ . □

Exemple 2.10.

Montrons avec la caractérisation séquentielle que $A=\{(x,y),x>0,y>0\}$ n’est pas fermé pour la norme $||.||_{\infty}$ . En effet $A\ni(1/n,1/n)\to(0,0)\not\in A$ , ce qui contredirait l’hypothèse que $A$ fermé. Montrons de même que $B=\{(x,y),x\geq 0,y\geq 0\}$ est fermé. En effet, Soit $(x_{n},y_{n})\in B$ tel que $(x_{n},y_{n})\to(x,y)$ on a $x_{n}\to x,y_{n}\to y$ donc comme $x_{n}\geq 0$ , on déduit $x\geq 0$ , et de même $y\geq 0$ donc $(x,y)\in B$ . Ainsi, comme toute limite de suite de $B$ est dans $B$ , on déduit que $B$ est fermé.

Vous avez vu en L2 le résultat suivant:

Proposition 2.16 (Relations Fermé-Complet).

Soit $E$ un espace métrique.

16.

Si $C\subset E$ est complet alors il est fermé.
17.

Si $C\subset E$ est complet et $F\subset C$ est un fermé de $E$ , alors $F$ est complet.

Démonstration :

18.

Si $C\subset E$ est complet alors si on considère une suite $(x_{n})$ convergente vers $x$ dans $E$ , elle est de Cauchy, donc converge dans $C$ , donc $x\in C$ par unicité de la limite.
19.

Si $C\subset E$ est complet et $F\subset C$ . Soit $x_{n}$ une suite de Cauchy de $F$ , elle converge dans $C$ , donc comme $F$ est fermé, la limite est dans $F$ , donc toute suite de Cauchy de $F$ converge dans $F$ .

□

En passant au complémentaire la proposition 2.11, on obtient:

Proposition 2.17 (Fermés pour la métrique induite).

Soit $A\subset(X,d)$ avec la métrique induite, $F$ est un fermé de $A$ , si et seulement si il existe un fermé $C$ de $X$ tel que $F=C\cap A$ .

7.1 Adhérence

Définition 2.14.

Soit $A\subset X$ . Un point $x\in X$ est dit adhérent à A si $\forall\epsilon>0B(x,\epsilon)\cap A\neq\emptyset$ .

On note $\overline{A}$ (ou $\mathrm{Adh}(A)$ ) l’ensemble des points adhérents à $A$ .

Exemple 2.11.

$\overline{X}=X,\overline{\emptyset}=\emptyset,A\subset\overline{A}$ . Si $r>0$ , dans un e.v.n. $E$ , on a $\overline{B(a,r)}=B_{F}(a,r)$ . Si $A=\{x_{n}\}_{n\in\mathbb{N}}$ les valeurs d’adhérence de la suite $(x_{n})$ sont dans $\overline{A}$ qui est l’union de l’ensemble des valeurs d’adhérence et de $A$ (exo).

Proposition 2.18.

(\mathrm{Adh}(A))^{c}=\mathrm{Int}(A^{c}).

(\mathrm{Int}(B))^{c}=\mathrm{Adh}(B^{c}).

Démonstration :

Un point $x\in X$ n’appartient pas à $\mathrm{Adh}(A)$ si et seulement si $\exists\epsilon>0,B(x,\epsilon)\cap A=\emptyset\Longleftrightarrow\exists% \epsilon>0,B(x,\epsilon)\subset A^{c}$ . C’est par définition équivalent à dire que $x$ est un point adhérent à $A^{c}$ .En appliquant le premier résultat à $A=B^{c}$ , on en déduit le second. □

On en déduit toutes les propriétés en passant au complémentaire celles de l’intérieur.

Corollaire 2.19.

20.

$\overline{A}$ est le plus petit fermé contenant $A$ .
21.

$A$ fermé si et seulement si $A=\overline{A}$ .
22.

$A\subset B\Rightarrow\overline{A}\subset\overline{B}$
23.

$\overline{A}\cap\overline{B}\supset\overline{A\cap B}$
24.

$\overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cup B}$

Démonstration :

1. $\overline{A}$ est fermé vu que son complémentaire est l’ouvert $\mathrm{Int}(A^{c})$ . Si $F$ est un fermé contenant $A$ , $F^{c}$ est un ouvert contenu dans $A^{c}$ donc dans $\mathrm{Int}(A^{c})$ le plus grand ouvert contenant $A^{c}$ . En passant au complémentaire, $F\supset\overline{A}$ . Les résultats 2.3.4.5 sont analogues, par passage au complémentaire, de résultats sur l’intérieur. □

$\bigstar$ Proposition 2.20 (Caractérisation séquentielle de l’adhérence).

$x\in\overline{A}$ si et seulement si il existe une suite $(a_{n})$ d’éléments de $A$ vérifiant $a_{n}\to x$ .

Démonstration :

Si x est adhérent à $A$ pour tout entier $n$ $B(x,1/n)\cap A$ est non vide donc contient un élément $a_{n}$ . La suite $(a_{n})\in A^{\mathbb{N}}$ converge vers $x$ vu $d(a_{n},x)\leq 1/n\to 0$ . La réciproque vient de la caractérisation séquentielle des fermés vu $\overline{A}$ fermé. □

$\bigstar$ Exemple 2.12.

Montrons que si $A=\{(x,y),x>0,y>0\}$ alors $\overline{A}=B=\{(x,y),x\geq 0,y\geq 0\}$ . On a vu à l’exemple 2.10 que $B$ est fermé, donc comme $A\subset B$ , on en déduit $\overline{A}\subset B$

Il reste à montrer que $B-A=\{(x,y),x=0,y\geq 0\ \text{ou}\ y=0,x\geq 0\}\subset\overline{A}$ . Or $(0,y)=\lim_{n\to\infty}(1/n,y+1/n)$ et si $y\geq 0$ , $(1/n,y+1/n)\in A$ , donc $(0,y)\in\overline{A}$ . De même $(x,0)=\lim_{n\to\infty}(x+1/n,1/n)\in\overline{A}$ si $x\geq 0$ .

7.2 Densité, Frontière

Définition 2.15.

Une partie $A$ est dite dense dans $X$ si $\overline{A}=X$ .

Exemple 2.13.

$\mathbb{Q}$ et $\mathbb{Q}^{c}$ sont denses dans $\mathbb{R}$ .

Définition 2.16.

Un point $x\in X$ est dit point frontière d’une partie $A$ si pour tout $r>0$ , $B(x,r)$ est d’intersection non vide avec $A$ et $A^{c}$ . On note $\mathrm{Fr}(A)$ l’ensemble des points frontières de A.

Remarque 2.5.

D’après la définition, $\mathrm{Fr}(A)=\mathrm{Fr}(A^{c})=\overline{A}\cap\overline{A^{c}}$ est un fermé.

Exercice 2.3.

Montrer que $\mathrm{Int}(A^{c}),\mathrm{Fr}(A),\mathrm{Int}(A)$ forment une partition de $X$ (i.e. sont disjoints deux à deux et leur union est $X$ ).

7 Fermés dans un espace métrique.

Rappel 2.4.

Définition 2.13.

★ Proposition 2.14.

★ Proposition 2.15 (Caractérisation séquentielle des fermés).

Exemple 2.10.

Proposition 2.16 (Relations Fermé-Complet).

Proposition 2.17 (Fermés pour la métrique induite).

7.1 Adhérence

Définition 2.14.

Exemple 2.11.

Proposition 2.18.

Corollaire 2.19.

★ Proposition 2.20 (Caractérisation séquentielle de l’adhérence).

★ Exemple 2.12.

7.2 Densité, Frontière

Définition 2.15.

Exemple 2.13.

Définition 2.16.

Remarque 2.5.

Exercice 2.3.

$\bigstar$ Proposition 2.14.

$\bigstar$ Proposition 2.15 (Caractérisation séquentielle des fermés).

$\bigstar$ Proposition 2.20 (Caractérisation séquentielle de l’adhérence).

$\bigstar$ Exemple 2.12.