11 Compacité dans les espaces métriques

$\bigstar$ Définition 2.23.

Soit $K$ une partie de $(X,d)$ espace métrique $K$ est dite (séquentiellement) compacte si elle possède la propriété suivante (dite de Bolzano-Weierstrass) : De toute suite de $K$ , on peut extraire une suite convergente dans $K$ .

Rappel 2.11.

Dans $\mathbb{R}$ le théorème de Bolzano-Weierstrass indique que toute suite bornée admet une sous-suite convergente et donc que tout fermé borné est compact.

Proposition 2.40.

Un compact $K$ d’un espace métrique $X$ est un fermé borné de $X$ . Un sous-ensemble fermé d’un compact est compact. Le produit de 2 espaces compacts est compact.

Démonstration :

1.

Un compact $K$ est fermé, car si une suite $(u_{n})$ converge vers $l$ dans $E$ , elle admet une sous-suite convergeant vers $k\in K$ , dont la limite est nécessairement $l=k$ (proposition 2.4), donc $l\in K$ .
2.

On montre par contraposée qu’un ensemble non borné $A$ ne peut pas être compact. Si $A$ non-borné, soit $x_{n}\in A$ tel que $d(x_{n},y)\geq n$ , si une suite extraite $x_{\phi(n)}\to x$ convergeait, elle serait bornée, ce qui n’est pas le cas car $d(x_{\phi(n)},y)\geq\phi(n)\to_{n\to\infty}\infty$ .
3.

Si $F\subset K$ avec $K$ compact, $F$ fermé, une suite de $F$ admet une sous suite convergeant dans $K$ par compacité, donc sa limite est dans $F$ par fermeture, d’où $F$ compacte.
4.

Si $K, L$ sont compacts, pour une suite $(x_{n},y_{n})\in K\times L$ , on extrait une suite $(x_{\phi(n)})$ convergente dans $K$ , puis on réextrait $(y_{\phi(\psi(n))})$ convergente dans $L$ (et a fortiori $(x_{\phi(\psi(n))})$ est aussi convergente) donc $(x_{\phi(\psi(n))},y_{\phi(\psi(n))})$ converge dans $K\times L.$

□

Exemple 2.17.

Soit $F=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2},xy=1\}$ est fermé mais pas compact. En effet, si $f(x,y)=xy$ est polynomiale donc continue $\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ donc $F=f^{-1}(\{1\})$ est fermé comme image réciproque d’un fermé par une application continue. Mais $F$ n’est pas compact car pas borné. $x_{n}=(1/n,n)\in F$ et $||x_{n}||_{\infty}=n\to\infty.$

$\bigstar$ Remarque 2.12.

En général dans un evn un fermé borné n’est PAS toujours compact. Dans $C^{0}([0,1],\mathbb{R})$ , montrons que la boule unité fermée n’est pas compacte. $f_{n}(x)=x^{n}$ vérifie $||f_{n}||_{\infty}=1$ , mais comme $f_{n}(x)\to f(x)$ (on dit converge simplement vers f) avec $f(x)=0$ si $x<1$ , $f(1)=1$ , donc $f$ non continue. Toute suite extraite de $f$ devrait converger vers cette limite qui n’est pas continue, donc elle ne peut pas converger dans $C^{0}([0,1],\mathbb{R})$ vers cette limite qui n’est pas dans $C^{0}([0,1],\mathbb{R})$ . En général, on peut montrer que les boules fermées d’evn sont compactes si et seulement si l’evn est de dimension finie, on montre une implication ci-dessous.

$\bigstar$ Théorème 2.41.

Si $u:E\to F$ est continue et $K\subset E$ est compacte alors $u(K)$ est compacte.

Démonstration :

Soit $y_{n}$ une suite de $u(K)$ donc $y_{n}=u(x_{n})$ ,avec $(x_{n})$ suite de $K$ , on extrait donc une suite $x_{\phi(n)}$ convergeant vers $x\in K$ . Par continuité, la suite extraite $y_{\phi(n)}=u(x_{\phi(n)})\to u(x)\in u(K)$ . □

$\bigstar$ Corollaire 2.42 (Thm. de Weierstrass).

Si $K\subset X$ espaces métriques est compacte et $f:K\to\mathbb{R}$ est continue, alors la fonction $f$ est bornée et atteint ses bornes : $\exists x_{0},x_{1}\in K,\forall x\in Kf(x_{0})\leq f(x)\leq f(x_{1})$ .

Démonstration :

$f(K)$ est compacte donc fermée et bornée. Donc $f$ est bornée, et le $f(K)$ contient son $s u p$ et son $i n f$ (par fermeture) c’est-à-dire, il existe $y_{0},y_{1}\in f(K)$ $y_{0}=\inf_{x\in K}f(x)$ , $y_{1}=\sup_{x\in K}f(x)$ . Finalement $y_{i}=f(x_{i})$ avec $x_{i}\in K$ . □

Corollaire 2.43.

Soit $X, K$ deux espaces métriques avec $K$ compact et $f:K\to X$ une bijection continue, alors $f$ est une homéomorphisme (c’est-à-dire $f^{-1}$ est continue et $X$ est aussi compacte).

Démonstration :

Comme $f$ bijective, pour un fermé $F\subset K$ , donc un compact, $(f^{-1})^{-1}(F)=f(F)$ est l’image directe du compact $F$ dans $X$ , donc est compact donc fermé. $f^{-1}$ envoie donc un fermé sur un fermé, donc est continue par caractérisation topologique de la continuité (Proposition 2.22). □

$\bigstar$ Théorème 2.44.

Dans un evn de dimension finie, les compacts sont exactement les fermés bornés.

Démonstration :

Il reste à montrer que les fermés bornés sont compacts. D’après le théorème 2.34 un isomorphisme linéaire $u$ de $E$ sur $\mathbb{K}^{n}$ est continu de $(E,||.||)$ sur $(K^{n},||.||_{\infty})$ , et $u^{-1}$ également. $u(K)$ est fermé comme image réciproque d’un fermé par $u^{-1}$ continue, $u(K)$ est borné comme image d’un borné par une application lipschitzienne. Donc $L=u(K)$ est un fermé borné de $(K^{n},||.||_{\infty})$ . Il suffit de voir que c’est un compact, car alors $K=u^{-1}(L)$ est compact comme image continue d’un compact (theorème 2.41). Soit $(x_{p})=(x^{(1)}_{p},...,x^{(n)}_{p})$ une suite de $L$ , par définition de la norme $(x^{(i)}_{p})$ sont bornés, elles admettent donc, par le théorème de Bolzano-Weierstrass dans $\mathbb{K}$ , une sous-suite simultanément convergente. $x^{(i)}_{\phi(p)}\to x^{(i)}$ Donc si $x=(x^{(1)},...,x^{(n)})$ , on a $||x_{\phi(p)}-x||=\max_{i=1...n}|x^{(i)}_{\phi(p)}-x^{(i)}|\to 0$ et comme $L$ est fermé; $x\in L$ ce qui conclut. □

Exemple 2.18.

Soit $K=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}x^{2}+y^{2}/2=1\}$ est compact. En effet, si $f(x,y)=x^{2}+y^{2}/2$ est polynomiale donc continue $\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ donc $F=f^{-1}(\{1\})$ est fermé comme image réciproque d’un fermé par une application continue. De plus $K\subset B_{||.||_{\infty},F}(0,\sqrt{2})$ donc $K$ est borné, donc fermé borné dans $\mathbb{R}^{2}$ de dimendion finie, donc $K$ est compact.

Exemple 2.19.

Soit $g:K\to\mathbb{R}$ définie par $g(x,y)=x^{2}+y^{2}$ $g$ est continue donc atteint ses bornes sur $K$ compact. En effet $g$ est la distance euclidienne à l’origine, il est facile de voir qu’elle atteint son maximum $2$ en $(0,\pm\sqrt{2})$ sur $K$ et son minimum $1$ en $(\pm 1,0)$ sur $K$ . Le théorème des extremas liés permettra de retrouver ce résultat pour des $g$ et des $K$ plus généraux.

$\bigstar$ Théorème 2.45 (de Heine).

Toute fonction continue $f$ sur un compact $K\subset X$ est uniformément continue.

Démonstration :

Soit $g:(x,y)\to d(f(x),f(y))$ de $K^{2}$ dans $\mathbb{R}$ elle est continue (pour la distance produit sur $X^{2}$ par composition) donc $g(K^{2})$ est compact. Soit $\epsilon>0$ reste à trouver un $\delta$ de continuité uniforme.

A=\{(x,y)\in K^{2}\ |\ d(f(x),f(y))\geq\epsilon\}=g^{-1}([\epsilon,+\infty[)

est fermé dans $K^{2}$ donc compact. Donc l’application continue $(x,y)\mapsto d(x,y)$ atteint sa borne inférieure $m$ . On a $m\neq 0$ car sinon on aurait un $(x,x)\in A$ , ce qui n’est pas possible vu $\epsilon>0$ .

Finalement si $\delta>0$ est tel que $\delta<m$ , si $d(x,y)\leq\delta$ , on a $(x,y)\not\in A$ , donc $d(f(x),f(y))<\epsilon$ . □

11.1 Complément: un résultat reliant complétude et compacité (facultatif)

Proposition 2.46.

Tout espace métrique compact $X$ est complet.

Démonstration :

Soit $(x_{n})$ une suite de Cauchy de $X$ , elle admet par compacité une suite extraite convergente, donc elle converge (proposition 2.5). □

Définition 2.24.

Un espace métrique $(X,d)$ est précompact si pour tout $\epsilon>0$ , $X$ peut être couvert par un nombre fini de boules ouvertes de rayon $\epsilon$ .

On rappelle le résultat suivant (cf. e.g. Zuily-Quéffelec [6, Th II.1 p135] ou Gourdon d’Analyse [5, p 32]) ou la proposition A.7.

Proposition 2.47.

Un espace métrique $X$ est compact si et seulement si il est précompact et complet.

11.2 Complément: Compacité topologique (facultatif)

On rappelle le résultat suivant (cf. e.g. Gourdon d’Analyse [5, Thm 1 p 28])

Théorème 2.48 (Propriété de Borel-Lebesgue).

Pour un ensemble $K$ d’un espace métrique $X$ est compact, si et seulement si, pour tout $(U_{i})_{i\in I}$ est un recouvrement de $K$ par des ouverts $U_{i}$ de $X$ , au sens où $\displaystyle K\subset\displaystyle\bigcup_{i\in I}U_{i}$ alors $K$ admet un sous-recouvrement fini: il existe $I_{0}\subset I$ fini tel que $\displaystyle K\subset\displaystyle\bigcup_{i\in I_{0}}U_{i}$ .

En passant au complémentaire et à la contraposée, on obtient aussi la version équivalente:

Théorème 2.49.

Pour un ensemble $K$ d’un espace métrique $X$ est compact, si et seulement si, pour tout $(F_{i})_{i\in I}$ est un fermé de $K$ , si pour toute intersection finie (i.e. avec $I_{0}$ fini) est non-vide $\displaystyle\bigcap_{i\in I_{0}}F_{i}\neq\emptyset$ alors l’intersection complète est aussi non-vide $\displaystyle\bigcap_{i\in I}F_{i}\neq\emptyset$ .

11 Compacité dans les espaces métriques

★ Définition 2.23.

Rappel 2.11.

Proposition 2.40.

Exemple 2.17.

★ Remarque 2.12.

★ Théorème 2.41.

★ Corollaire 2.42 (Thm. de Weierstrass).

Corollaire 2.43.

★ Théorème 2.44.

Exemple 2.18.

Exemple 2.19.

★ Théorème 2.45 (de Heine).

11.1 Complément: un résultat reliant complétude et compacité (facultatif)

Proposition 2.46.

Définition 2.24.

Proposition 2.47.

11.2 Complément: Compacité topologique (facultatif)

Théorème 2.48 (Propriété de Borel-Lebesgue).

Théorème 2.49.

$\bigstar$ Définition 2.23.

$\bigstar$ Remarque 2.12.

$\bigstar$ Théorème 2.41.

$\bigstar$ Corollaire 2.42 (Thm. de Weierstrass).

$\bigstar$ Théorème 2.44.

$\bigstar$ Théorème 2.45 (de Heine).