1 Distance et Norme sur un espace vectoriel

$\bigstar$ Définition 2.1.

Soit $X$ un ensemble (en général supposé non-vide). Une distance sur $X$ est une application $d:X\times X\to[0,+\infty[$ telle que :

i

$\forall x,y\in X,\ d(x,y)=d(y,x)$ (symétrie)
ii

$\forall x,y,z\in X\ d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (inégalité triangulaire ou sous-additivité)
iii

$\forall x,y\in X\ d(x,y)=0\Longleftrightarrow x=y$ (séparation)

Un couple $(X,d)$ est appelé espace métrique (em).

$\bigstar$ Définition 2.2.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -e.v. Une norme sur $E$ est une application $n:E\to[0,+\infty[$ telle que :

i

$\forall x\in E,\ \lambda\in\mathbb{K}\ n(\lambda x)=|\lambda|n(x)$ (homogénéité)
ii

$\forall x,y\in E\ n(x+y)\leq n(x)+n(y)$ (inégalité triangulaire ou sous-additivité)
iii

$\forall x\in E\ n(x)=0\Longleftrightarrow x=0$ (séparation)

Souvent on note $n(x)=||x||$ , sauf dans l’exemple $E=\mathbb{K},n(x)=|x|$ . Un couple $(E,||.||)$ est appelé espace vectoriel normé (evn).

Exemple 2.1.

Soit $X\subset E$ une partie (non-vide) avec $d(x,y)=||x-y||$ , alors $(X,d)$ est un espace métrique et tout espace métrique est de cette forme.

Exemple 2.2.

Si $E=\mathbb{R}^{n}$ on a trois normes classiques, si $X=(x_{1},...,x_{n})$ :

||X||_{1}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|

||X||_{2}=\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}\ \mathrm{(norme\ % euclidienne)}

||X||_{\infty}=\max_{i=1...n}{|x_{i}|}

Exercice 2.1.

Montrer que ce sont des normes (cf. TD de L2).

$\bigstar$ Exemple 2.3.

Si $E=C^{0}([a,b],\mathbb{R})$ l’ensemble des fonctions continues sur $[a,b]$ , on a trois normes :

||f||_{1}=\int_{a}^{b}|f(t)|dt

||f||_{2}=\sqrt{\int_{a}^{b}|f(t)|^{2}dt}

||f||_{\infty}=\sup_{t\in[a,b]}{|f(t)|}

Cette dernière norme est la norme de la convergence uniforme (la convergence pour $||.||_{\infty}$ coïncidera avec la convergence uniforme)

Le lemme 1.17 se reformule en disant:

Lemme 2.1.

$(\ell^{1}(I,\mathbb{K}),||\cdot||_{1})$ est un espace vectoriel normé.

Démonstration :

$||\cdot||_{1}$ vérifie l’inégalité triangulaire (cas $\lambda=\mu=1$ du lemme 1.17). De plus $||\cdot||_{1}$ est positif. Comme $|a_{i}|\leq||a||_{1}$ , $a_{i}=0$ si $||a||_{1}=0$ , pour tout $i$ donc $a=0$ ce qui donne l’axiome de séparation. Enfin $\displaystyle\sum_{i\in J}|\lambda a_{i}|=|\lambda|\displaystyle\sum_{i\in J}|% a_{i}|$ donc en passant au sup: $|\lambda|\ ||a||_{1}=||\lambda a||_{1}$ (d’où l’homogénéité). □

Exemple 2.4.

Si $Z=X\times Y$ avec $(X,d_{X})$ , $(Y,d_{Y})$ des espaces métriques. On définit :

d_{Z}((x,y),(x^{\prime},y^{\prime}))=\max(d_{X}(x,x^{\prime}),d_{Y}(y,y^{% \prime})).

C’est une distance sur $Z$ (exo) que l’on utilisera dans cette situation ultérieurement (distance produit).

Exemple 2.5.

$\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}$ est un espace métrique avec la distance

d_{\overline{\mathbb{R}}}(x,y)=\left\{\begin{tabular}[]{lcr}$\min(1,|x-y|)$&si% &$x,y\in\mathbb{R}$\\ $0$&si&$x=y\in\{-\infty,+\infty\}$\\ $1$&sinon\end{tabular}\right.

Proposition 2.2.

(Inégalité triangulaire inverse) Soit $(X,d)$ un espace métrique.

\forall x,y,z\in X\left|\begin{array}[]{c}d(x,z)-d(y,z)\end{array}\right|\leq d% (x,y).