3 Boules dans un espace métrique

$\bigstar$ Définition 2.4.

Soient $a\in X$ et $r\in[0,\infty[$ .

On appelle boule ouverte de centre a et de rayon r de $X$ la partie :

B(a,r)=\{x\in X,\ |\ d(x,a)<r\}.

et boule fermée de centre a et de rayon r de $X$ la partie :

B_{F}(a,r)=\{x\in X,\ |\ d(x,a)\leq r\}.

On appelle sphère de centre a et de rayon r de $X$ la partie :

S(a,r)=\{x\in X,\ |\ d(x,a)=r\}.

Dans le cas $r=0$ , $B(x,0)=\emptyset,B_{F}(x,0)=\{x\}$ .

Exercice 2.2.

Dessiner les boules de $\mathbb{R}^{2}$ pour $||.||_{1},||.||_{2},||.||_{\infty}$

3.1 Parties bornées

Définition 2.5.

Un ensemble $A\subset X$ est dit borné si $\exists M\in[0,\infty[,a\in X\forall x\in A,d(x,a)\leq M$ , c’est à dire s’il est contenu dans une boule.