12 Intégrale de Riemann à valeur Espace de Banach

Nous référons par exemple au Gourdon d’Analyse [5] (chapitre 3 secion 1) pour cette section. Soit $F$ un evn complet. Soit $I=[a,b]\subset\mathbb{R}$ un segment. On rappelle les définitions:

Définition 2.25.

Une subdivision de $[a,b]$ est suite finie $(a_{i})_{i=0,\cdots,n}$ de la forme $a=a_{0}<a_{1}<\cdots<a_{n}=b$ . Une fonction continue par morceaux sur $I$ est une fonction $f:I\to F$ telle qu’il existe une subdivision $(a_{i})_{i=0,\cdots,n}$ , telle que pour $i\in[\![0,n-1]\!]$ , chaque restriction $f_{]a_{i},a_{i+1}[}$ est continue et admette des limites en $a_{i},a_{i+1}$ . Une fonction $f:I\to F$ est dite en escalier si il existe une subdivision $(a_{i})_{i=0,\cdots,n}$ , telle que pour $i\in[\![0,n-1]\!]$ , $f_{]a_{i},a_{i+1}[}$ est constante.

On définit $E=\mathscr{C}M(I,F)$ l’ensemble des fonctions continues par morceaux sur $I$ à valeur $F$ . Comme chaque prolongement par continuité de $f_{]a_{i},a_{i+1}[}$ est continue sur un compact $[a_{i},a_{i+1}]$ , donc bornée, les fonctions continues par morceaux sont bornées. On note $D\subset E$ l’ensemble des fonctions en escaliers.

$E$ est donc un Evn (PAS complet) pour la norme de la convergence uniforme, si $f\in E$ :

||f||_{E}=\sup_{t\in I}||f(t)||_{F}.

On va utiliser le théorème suivant de prolongement des applications linéaires continues pour définir l’intégrale à valeur dans $F$ . C’est une application immédiate du Théorème 2.27:

Proposition 2.50.

Toute application linéaire continue $u$ d’un sous-espace vectoriel dense $D$ d’un evn $E$ vers un $e v n$ complet $F$ se prolonge en une unique application linéaire continue $v:E\to F$ , ayant la même constante de lipschitzianité que $u$ .

Démonstration :

Comme $u$ est continue donc $K$ -lipschitzienne (par proposition 2.29) donc uniformément continue, l’unique prolongement est donné par le Théorème 2.27.

Si $x_{n}\to x,y_{n}\to y$ en passant à la limite dans la relation $u(\alpha x_{n}+\beta y_{n})=\alpha u(x_{n})+\beta u(y_{n})$ , on déduit que $v$ est linéaire et avec $||u(x_{n}-y_{n})||\leq K||x_{n}-y_{n}||$ , on déduit que $v$ est $K$ -lipschitzienne. □

Pour une fonction en escalier $\phi:[a,b]\to F$ de subdivision $(a_{i})_{i=0,\cdots,n}$ . On définit

I(\phi)=\int_{[a,b]}\phi(t)dt=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(a_{i}-a_{i-1})\phi% \Big{(}\frac{a_{i-1}+a_{i}}{2}\Big{)}.

$I$ est une application linéaire continue, car par l’inégalité triangulaire

||I(\phi)||\leq\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|a_{i}-a_{i-1}|\left\|\phi\Big{(}% \frac{a_{i-1}+a_{i}}{2}\Big{)}\right\|_{F}\leq||\phi||_{E}|b-a|.

Comme les fonctions en escalier sont denses dans les fonctions continues par morceaux (exo. TD), la proposition précédente permet d’étendre l’intégrale comme quand $F=\mathbb{R}$ et on a :

Définition 2.26.

L’ intégrale des fonctions continues par morceaux $\mathscr{C}M(A,F)$ est l’unique prolongement linéaire continu de l’intégrale des fonctions en escaliers, noté $\int_{a}^{b}dtf(t)=\int_{a}^{b}f(t)dt.$

Proposition 2.51.

(Inégalité triangulaire) $||\int_{a}^{b}dtf(t)||_{F}\leq\int_{a}^{b}dt||f(t)||_{F}.$

Démonstration :

||I(\phi)||_{F}\leq\displaystyle\sum_{i=1}^{n}|a_{i}-a_{i-1}|\left\|\phi\Big{(% }\frac{a_{i-1}+a_{i}}{2}\Big{)}\right\|_{F}=\int_{a}^{b}||\phi(t)||_{F}dt

pour $\phi$ en escalier et on prolonge par continuité. □

On a toutes les propriétés usuelles, Chasles, linéarité, en particulier si $F=\mathbb{R}^{n}$ et $f=(f_{1},...,f_{n})$ $\int_{a}^{b}f(t)dt=(\int_{a}^{b}f_{1}(t)dt,...,\int_{a}^{b}f_{n}(t)dt).$

12.1 Rappel sur les Intégrales impropres

Définition 2.27.

Pour une fonction $f$ continue sur un intervalle $I\to\mathbb{R}$ qui n’inclut pas toutes ses bornes ou qui n’est pas borné, on définit l’ intégrale impropre de la manière suivante :

1.

Dans le cas $I=[a,b[$ avec $a<b$ , $b\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{c\nearrow b}\int_{a}^{c}f(x)dx$
2.

Dans le cas $I=]a,b]$ avec $a<b$ , $a\in\mathbb{R}\cup\{-\infty\}$

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{c\searrow a}\int_{c}^{b}f(x)dx$
3.

Dans le cas $I=]a,b[$ avec $a<b$ , $a\in\mathbb{R}\cup\{-\infty\}$ , $b\in\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ on prend $a<c<b$ et on pose

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx.$

Dans tous ces cas, on dit que l’intégrale est convergente si la limite existe et est finie.

Dans tous les cas, on s’occupera surtout du cas $I=[a,b[$ puisque le cas $I=]a,b]$ est similaire en remplaçant $f$ par $x\mapsto f(-x)$

Le cas le plus important est le cas suivant (car on va disposer de théorèmes de comparaison avec des fonctions positives de références):

Définition 2.28.

Pour une fonction $f$ continue sur un intervalle I (comme dans la définition précédente) est dite intégrable sur $I$ si $\int_{a}^{b}|f(x)|dx$ converge. Dans ce cas on dit aussi que $\int_{a}^{b}f(x)dx$ est absolument convergente.

Exercice 2.4.

Convergence et valeur de

\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx.

La limite infinie est en $0$ . Donc Soit $t>0$ on Calcule $\int_{t}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=[2\sqrt{x}]_{t}^{1}=2-2\sqrt{t}.$ La limite en $t\to 0$ est finie donc l’intégrale converge et vaut $2$ .

12.2 Exemples de référence (à connaître TRES BIEN)

1.

$\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx$ converge et vaut 1. En effet, $\int_{0}^{A}e^{-x}dx=1-e^{-A}\to_{A\to\infty}1$ .

Plus généralement, $\int_{0}^{\infty}e^{-ax}dx$ converge si et seulement si a ¿ 0, et vaut alors 1/a.
2.

$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{t^{\alpha}}dt$ converge si et seulement si $\alpha>1$ (intégrale de Riemann) et vaut

$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{t^{\alpha}}dt=\frac{1}{\alpha-1},\alpha>1,$

$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{t^{\alpha}}dt=+\infty,\alpha\leq 1.$

En effet, si $\alpha\neq 0$ , $\int_{1}^{A}\frac{1}{t^{\alpha}}dt=\frac{A^{-\alpha+1}-1}{-\alpha+1}$ et pour $\alpha>1$ , $A^{-\alpha+1}\to_{A\to+\infty}0$ , tandis que pour $\alpha<1$ $A^{-\alpha+1}\to_{A\to+\infty}+\infty$

Si $\alpha=1$ , $\int_{1}^{A}\frac{1}{t}dt=\ln(A)\to_{A\to+\infty}+\infty$
3.

$\int_{0}^{1}\frac{1}{t^{\alpha}}dt$ converge si et seulement si $\alpha<1$ (intégrale de Riemann) et vaut

$\int_{0}^{1}\frac{1}{t^{\alpha}}dt=\frac{1}{1-\alpha},\alpha<1$

$\int_{0}^{1}\frac{1}{t^{\alpha}}dt=+\infty,\alpha\geq 1$

.

En effet si $\alpha\neq 0$ , $\int_{a}^{1}\frac{1}{t^{\alpha}}dt=\frac{1-a^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}$ et pour $\alpha>1$ , $a^{-\alpha+1}\to_{a\to 0}+\infty$ , tandis que pour $\alpha<1$ $a^{-\alpha+1}\to_{a\to 0}0$

Si $\alpha=1$ , $\int_{a}^{1}\frac{1}{t}dx=|\ln(a)|\to_{a\to\infty}\infty$ .
4.

$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t^{\alpha}}dt=+\infty$ diverge toujours pour tout $\alpha\in\mathbb{R}$ (en combinant les 2 points précédents).

12.3 Théorèmes de comparaison

Le contexte est le suivant : on se donne une fonction continue $f:I=[a,b[\to\mathbb{R}$ et on étudie la nature de l’intégrale impropre $\int_{a}^{b}f(x)dx$

La méthode la plus simple consiste à chercher une fonction convenable continue et positive $g:I=[a,b[\to[0,\infty[$ et de comparer $f$ à $g$ . Les trois résultats de base à utiliser sont les suivants (avec C¿0 une constante).

Théorème 2.52.

Théorème de comparaison .

1.

Si $|f(x)|\leq Cg(x)$ , $\forall x\in[a,b[$ , et si $\int_{a}^{b}g(x)dx$ converge, alors $\int_{a}^{b}f(x)dx$ converge (absolument).
2.

Si $f(x)\geq Cg(x),$ $\forall x\in[a,b[$ et si $\int_{a}^{b}g(x)dx=+\infty$ alors $\int_{a}^{b}f(x)dx=+\infty$ .