Calcul différentiel (séance du 9/1/13)
vendredi 28 décembre 2012
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Quelques pages semi-formelles sur le calcul différentiel. Quelques exercices ici et là.
Pour la séance du 9 janvier, vous serez supposés avoir lu ces pages, me les avoir fait corriger et compléter si nécessaire.
Exercice (proposé par Hélène, un peu complété) :
- Déterminer la différentielle du déterminant. [On pourra remarquer que la formule qui permet de développer le déterminant par rapport à une ligne ou à une colonne donne, au signe près, la dérivée partielle par rapport à une variable comme le cofacteur associé.]
- Application. En quels points la différentielle du déterminant s’annule-t-elle/est-elle surjective ? Qu’est-ce que cela nous dit de l’ensemble V des matrices non inversibles ?
Exercices (proposés par Laurent D.) :
- Quels sont les points critiques de la fonction
? Est-ce que
admet un extremum en ces points ? Tracer l’allure des courbes de niveau
(
) à partir de cette information — en particulier, la courbe de niveau
.
- Quelle est la différentielle de l’application de
,
?
- Quelle est la différentielle de l’application de
,
(où
désigne le produit scalaire) ?
Exercices :
- Quelle est la différentielle de l’application
,
?
- On montre que toute matrice symétrique admet une valeur propre réelle. Pour cela, on se place dans
euclidien standard. Soit
une matrice symétrique de taille
. On considère l’application
,
.
- Calculer la différentielle de
.
- Montrer que
admet un maximum sur
, la sphère unité de
. On note
un point où ce maximum est atteint.
- Soit
un vecteur orthogonal à
. Montrer qu’il existe une courbe
, définie et dérivable sur un voisinage de
, telle que
et
. En déduire que
est orthogonal à
.
- En utilisant ce qui précède, montrer que
est un vecteur propre de
.
- Calculer la différentielle de
- Quelle est la différentielle de l’application
de
dans les endomorphismes de
qui, à
, associe l’application linéaire
? Même question avec
(où la transposée porte sur
).
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