Pour la séance du 9 janvier, vous serez supposés avoir lu ces pages, me les avoir fait corriger et compléter si nécessaire.

Exercice (proposé par Hélène, un peu complété) :

1. Déterminer la différentielle du déterminant. [On pourra remarquer que la formule qui permet de développer le déterminant par rapport à une ligne ou à une colonne donne, au signe près, la dérivée partielle par rapport à une variable comme le cofacteur associé.]
2. Application. En quels points la différentielle du déterminant s’annule-t-elle/est-elle surjective ? Qu’est-ce que cela nous dit de l’ensemble V des matrices non inversibles ?

Exercices (proposés par Laurent D.) :

1. Quels sont les points critiques de la fonction $f:(x,y)\mapsto x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2$ ? Est-ce que $f$ admet un extremum en ces points ? Tracer l’allure des courbes de niveau $\{(x,y),\ f(x,y)=k\}$ ($k\in\mathbb{R}$) à partir de cette information — en particulier, la courbe de niveau $k=0$.
2. Quelle est la différentielle de l’application de $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$, $X\mapsto(X,X)$ ?
3. Quelle est la différentielle de l’application de $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, $X\mapsto\langle X,X\rangle$ (où $\langle .,.\rangle$ désigne le produit scalaire) ?

Exercices :

1. Quelle est la différentielle de l’application $\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$, $(v_1,v_2)\mapsto v_1\wedge v_2$ ?
2. On montre que toute matrice symétrique admet une valeur propre réelle. Pour cela, on se place dans $\mathbb{R}^n$ euclidien standard. Soit $A$ une matrice symétrique de taille $n\times n$. On considère l’application $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, $X\mapsto {}^tXAX$.
   1. Calculer la différentielle de $f$.
   2. Montrer que $f$ admet un maximum sur $S$, la sphère unité de $\mathbb{R}^n$. On note $X_0$ un point où ce maximum est atteint.
   3. Soit $h$ un vecteur orthogonal à $X_0$. Montrer qu’il existe une courbe $\gamma:\left]-\epsilon,\epsilon\right[\to S$, définie et dérivable sur un voisinage de $0$, telle que $\gamma(0)=X_0$ et $\gamma'(0)=h$. En déduire que $AX_0$ est orthogonal à $h$.
   4. En utilisant ce qui précède, montrer que $V_0$ est un vecteur propre de $A$.
3. Quelle est la différentielle de l’application $f$ de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ dans les endomorphismes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ qui, à $g$, associe l’application linéaire $M\mapsto gMg^{-1}$ ? Même question avec $M\mapsto gM{}^tg$ (où la transposée porte sur $g$).