Suites
par
Retrouver les fichiers associés à cette activité sur i2geo.net. Nous allons nous intéresser aux suites, à leurs valeurs d’adhérence, au moyen de les représenter visuellement, aux suites en particulier de la forme , aux moyens d’accélérer la convergence quand a un point fixe attractif.
Tout d’abord, une valeur d’adhérence d’une suite est un nombre qui est approché arbitrairement près par toute queue de la suite, c’est-à-dire, .
La suite qui va nous occuper est la suite logistique qui exhibe des propriétés intéressantes. Il s’agit de l’itération de la fonction pour une valeur de départ dans et .
Théorème du point fixe de Picard
Une fonction sur un fermé de , K-contractante admet un unique point fixe et la suite de ses itérées converge vers avec pour tous entiers .
Notre fonction a deux points fixes sur , et , qui n’est positif que pour .
Le maximum de la dérivée de est atteint aux bornes et vaut , est donc contractante pour , avec comme unique point fixe attractif, lequel devient répulsif pour . La dérivée en l’autre point fixe vaut qui est plus petit que en valeur absolue pour à partir duquel les deux points fixes sont répulsifs. C’est alors sa composée double qui a deux nouveaux points fixes attractifs, qui sont images l’un de l’autre par . Mais quand grandit, ceux-là deviennent à leur tour répulsifs et c’est à l’itérée suivante qu’il faut aller chercher des points fixes.
A noter le cycle d’ordre 3 pour .
Une étude fine avec Géoplan par Olivier Roizès m’a servi de guide.
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