Épreuve sur table du 23 novembre 2013
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Texte de l’épreuve sur table du 23 novembre 2013. Durée prévue : quatre heures.
Mise à jour 6 janvier 2014
Je viens d’ajouter des solutions. Pour la partie proposée à l’épreuve de 2006, c’est un extrait du rapport du jury. Il y a une difficulté liée au changement de programme dans I.3.d : c’est très compliqué si on ne suppose pas connu le théorème du relèvement qui semble avoir disparu du programme : voir document joint.
L’épreuve sur table du samedi 23 novembre est constituée de deux parties de problèmes indépendants :
- le début de la deuxième épreuve de 2006 (4 pages),
- le début d’une autre épreuve (3 pages) ; pour cette deuxième partie, l’objectif est en fait d’atteindre la question III.3.2, les questions III.4 à III.7 étant optionnelles.
Le thème commun est celui des équations différentielles.
Le premier problème commence par des calculs explicites et se termine par un résultat qualitatif [1] le « théorème de l’entonnoir ».
Dans le deuxième problème, après des préliminaires, on étudie l’existence d’une unique solution du « problème de von Neumann », une variante du problème de Cauchy où on change le type des conditions aux limites. Puis on donne une approximation numérique de la solution : l’existence de la suite qui définit cette approximation n’est pas triviale et permet de glisser un peu d’algèbre linéaire. Enfin, on étudie la précision de l’approximation.
[1] C’est-à-dire que l’on démontre des propriétés d’une solution sans la calculer explicitement.
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