Puissances de $6$...

et sous-groupes de $\mathbf{R}$, fractions continues, équirépartition
mercredi 20 juin 2018
par  Webmaster IREM

Trois approches pour étudier les premiers chiffres des puissances de $6$ : sous-groupes de R, fractions continues, équirépartition

Existe-t-il une puissance de $6$ qui commence par un chiffre neuf en base dix ? Oui, mais on ne le trouve pas de tête : $6^176$ commence par un chiffre neuf. C’est le premier d’une liste infinie.

Existe-t-il une puissance de $6$ qui commence par $999\,999$ ? par $123456789101112$ ? Oui aussi. On peut, par ordre de difficulté :

  • montrer qu’il y a un nombre infini de telles puissances ;
  • estimer combien il y en a entre parmi les $n$ premières puissances ;
  • chercher une puissance effective.

Cela fait appel à des techniques très différentes : les sous-groupes de R, l’équirépartition, les fractions continues. C’est le sujet d’un devoir proposé à l’agrégation interne en septembre 2017, que voici.


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Diaporama : des illustrations graphiques des (...)
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Sujet du devoir
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Solution du problème
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