M1-ALGEBRE
Fiches TD:
Fiche TD1 sur les groupes: groupes abéliens finis, classification des groupes finis de petit cardinal, actions de groupes et groupe symétrique, groupes projectifs sur un corps fini.
Un test sur les groupes pour vous réconforter dans l'idée que vous avez tout compris sur les groupes.
La Correction de l'exercice 2-TD1 qui a fait l'objet de beaucoup de questions.
Fiche TD2 sur les premières manipulations de base dans les anneaux, sur les algèbres de polynômes et de polynômes symétriques.
Fiche TD3 sur la notion de factorialité, les polynômes.
Fiche TD4 sur les équations diophantiennes, les corps finis.
Fiche TD5 sur la version faible du théorème de Dirichlet, avec plusieurs méthodes, et applications.
Le partiel 2016 sur groupes et anneaux.
La correction du partiel 2016 sur groupes et anneaux.
Fiche TD6 sur des derniers développements en algèbre avant de passer à autre chose.
Le partiel 2018 sur groupes et anneaux.
La correction du partiel 2018 sur groupes et anneaux.
Fiche de factorisation sur un corps fini en attendant de pouvoir attaquer la théorie des représentations.
Fiche TD7 sur la théorie des représentations(première approche, théorie des caractères, tables de représentation) .
Fiche TD8 sur la théorie des représentations (algèbre d'un groupe, cas abélien, groupe du cube).
Fiche TD9 sur la théorie des représentations (application de la théorie des représentations, arithmétique des représentations).
Fiche Une liste de développements pour l'agrégation issue des 9 fiches étudiées en TD.
L' examen final de Janvier 2017.
La correction de l'examen final.
L' examen final de Janvier 2018.
La correction de l'examen final.
L' examen final de Janvier 2019.
La correction de l'examen de janvier 2019 final.
Goodies:
Voici le joli livre (épuisé malheureusement) L'algèbre discrète de la transformée de Fourier de Gabriel Peyré.
Voici quelques prérequis du cours à
télécharger. On y trouvera quelques résultats de l'U.E. d'Algèbre et
Théorie des Nombres de L3 à bien connaître.
Un peu de vocabulaire de base, kit de survie pour le monde impitoyable des groupes.
Une fiche de choses à bien connaître sur le groupe symétrique en recto-verso!
Un graphe de Cayley du groupe A4.
La théorie des groupes est-elle soluble dans les petites têtes blondes de nos chérubins? Voici une fiche Galion de sixième concoctée (comme on peut le voir en filigrane) par l'IREM durant les seventies. Toute une génération de sixièmes ont travaillé sur les groupes durant la fameuse époque des "maths modernes". Saurez-vous reconnaître du premier coup d'oeil le groupe dont la table est demandée en question 4?
Les méthodes à bien connaître pour classifier les groupes de petit cardinaux en M1 (et à l'agrégation).
Quelques prérequis pour les anneaux en M1.
Un questionnaire pour s'entraîner dans la pratique des morphismes d'anneaux et pour dominer complètement ces petits problèmes quotidiens que sont pour l'algébriste les constructions de tels morphismes. Voici un petit corrigé du questionnaire
La construction du corps de fractions d'un anneau commutatif intègre et sa propriété universelle ne semblent plus faire partie de vos bagages. C'est quand même dommage de savoir tant de belles choses sans savoir construire Q! Voici donc quelques lignes wikipedia sur le corps des fractions.
Voici un exemple classique d'anneau non factoriel lié à l'étude de la courbe x²=y³.
Voici un exemple d'équation de Mordell résolue à l'aide de la factorialité de Z[i].
Voici un exemple d'équation de Fermat résolue à l'aide de la factorialité de Z[j].
Voici les pré-requis sur les A-modules. Juste quelques définitions par ci par là qu'on peut imaginer tout seul. Juste une proposition non triviale : la notion de rang d'un module libre qui généralise la dimension d'un espace vectoriel.
Une petite note sur les matrices magiques en lien avec la théorie des représentations. En fait, il s'agit plus d'une illustration des la théorie des représentations qu'une véritable application de la théorie aux matrices magiques!
[Fiches TD/Documents]
[Livres]
[ Liens ]
Documents/Archives
Le DM de mi-parcours et un bref corrigé
Le partiel sur les groupes et un corrigé du partiel clair et concis comme un haïku.
Le Partiel de Novembre 2013 et son corrigé.
Examen 2013-2014 et son corrigé.
Le Partiel de Novembre 2014 et son corrigé.
Examen 2014-2015 et son corrigé. Pour info, j'ai mis en italique certains mots clef attendus par le correcteur.
Examen 2015-2016 et son corrigé.
Le partiel 2017 sur groupes et anneaux.
La correction du partiel 2017 sur groupes et anneaux.
Le partiel 2018 sur groupes et anneaux.
La correction du partiel 2018 sur groupes et anneaux.
Un petit questionnaire en théorie des représentations pour vérifier si vous êtes au point.
Comment construire la Table de caractères de S6 et au-delà!
LIVRES CONSEILLES
Pour suivre le cours et s'exercer :
L'indémodable "Cours d'algèbre" de Perrin.
Le cours de M1-algèbre recouvre le premier chapitre du cours de Perrin, à l'exception des automorphismes de Z/p^rZ et de S_n. Le saviez-vous? Beaucoup d'exercices du Perrin sont corrigés dans le Francinou-Gianella "Exercices de mathématiques pour l'agrégation- Algèbre 1".
"Exercices d'algèbre" d'Aviva Spzirglas, pour les rappels de cours efficaces, ses exercices (corrigés!) simples mais bien calibrés, et son chapitre 6 sur les groupes libres et les présentations de groupes par générateurs et relations.
"L'algèbre discrète de la transformée de Fourier" de Gabriel Peyré. Enfin un livre qui regroupe des vrais morceaux d'algèbre qui tiennent la route avec des applications actuelles (transformée de Fourier rapide, compression des données, codes correcteurs). On peut y suivre la partie du cours de M1-algèbre sur la dualité dans le cas fini abélien. Le chapitre II sur les applications à la dualité sur un groupe abélien fini est à mettre dans toutes les mains.
Pour ceux qui apprécient la belle concision abstraite des mathématiques et qui veulent suivre le cours de M1-algèbre part II, voire aller plus loin dans l'étude des anneaux, je conseille fortement le livre de Atiyah et MacDonald "Introduction to commutative algebra".
Pour aller plus loin, pour le plaisir, ou les deux à la fois :
"Visual group theory" de Nathan Carter. C'est de la théorie des groupes pour les visuels, ou comment voir des groupes, des sous-groupes distingués ou non, des produits semi-directs. L'outil de base est le graphe de Cayley. Pour les auditifs, je conseille l'écoute des oeuvres de Iannis Xenakis et entre autres, "Persephassa".
"Atlas of finite groups" de Conway and al. qui regroupe les résultats de l'immense travail de classification des groupes simples finis, une espèce de guide touristique des groupes finis. On peut s'amuser à jeter un oeil au site de l'atlas des groupes finis.
Voici la table de caractères du groupe symétrique S6 avec en bonus la construction et la description de
l'automorphisme exceptionnel de S6 à partir de cette table.
QUELQUES SITES
Quelques petits sites sympathiques. Merci à Kenji et à Donatien de m'en avoir signalés.
Graphes de Cayley pour les groupes S_n, n de 1 à 5. Pour plus de beaux dessins, voir ce site
Une soirée, un anniversaire, les fêtes de Noël? Epatez vos amis, offrez un groupe! Voici un site qui permet de faire soi-même des polyèdres et entre autres le fameux tétraèdre tronqué (A_4 engendré par un 3-cycle et un produit de 2-cycles), cube tronqué (S_4 engendré par un 3-cycle et un 2-cycle), octaedre tronqué (S_4 engendré par un 4-cycle et un 2-cycle), icosaèdre tronqué (A_5 engendré par un 5-cycle et un produit de 2-cycles), dodécaèdre tronqué (A_5 engendré par un 3-cycle et un produit de 2-cycles).
Voila un petit site où vous pourrez jouer à Alice et Bob. Codez et décodez vos message, créez vos propres clés de codage. Système RSA.
La séquence émotion. Retrouvez la copie d'Evariste Galois au concours général de 1828. Il venait d'avoir 17 ans et quatre ans devant lui pour révolutionner l'algèbre. On peut voir le document tapé avec le sujet. C'est finalement bien plus compréhensible que ce qu'on pourrait imaginer.
Vous aimez faire des maths sans crayon? les mains dans les poches? ou dans un hamac et juste avec les yeux? Jetez alors un oeil à cet extrait choisi de Proofs without words de Roger B. Nelsen.