Séance du 9 novembre : Normes, séries de matrices, exponentielle de matrices

lundi 7 novembre 2011
par  Christian Mercat

En Ariane 16

Plan du campus, ce sera en Fokko ensuite.

Nous avons illustré l’an dernier des points d’algèbre linéaire à l’aide du tableur de Géogébra.

La séance de cet après-midi d’analyse traite de la norme d’endomorphismes et de séries de matrices aussi je vous propose d’illustrer en dimension deux ces notions en étudiant l’exponentielle d’une matrice 2x2. Encore une fois, avec un peu d’entraînement, une telle illustration peut être faite en 1/4 d’h.

Nous utilisons les matrices sous forme de listes plutôt qu’au travers du tableur. On créée deux points libres qu’on nomme Me1 et Me2 puis la matrice associée M={{x(Me1), x(Me2)}, {y(Me1), y(Me2)}}.

La norme $L^p$ (pour p un curseur réel entre 0.1 et 10) est définie par sa boule qui est l’ensemble des points $\{(x,y)\in\mathbf{R}^2/x^p+y^p=1\}$, qu’on peut visualiser comme la courbe polaire $r(t)=1/\sqrt[p]{\cos^p(t)+\sin^p(t)}$ soit, en Géogébra :

b=Courbe[cos(t) / (abs(cos(t))^p + abs(sin(t))^p)^(1 / p), sin(t) / (abs(cos(t))^p + abs(sin(t))^p)^(1 / p), t, 0, 6.3]

On visualise l’image par M de cette boule unité par le lieu de l’image MB = M * B d’un point B sur la courbe b. La norme de M subordonnée à la norme $L^p$ est donnée par le maximum de la valeur de la norme $L^p$ de MB quand B décrit la boule b. C’est en général difficile à trouver, sauf dans la cas où p=2, l’image est une ellipse et la norme de M est le grand-axe de celle-ci. On pourrait visualiser deux normes, $L^p$ et $L^q$ avec leurs boules respectives et comprendre ce que ça signifie qu’elles soient équivalentes.

La norme est visualisée par l’ellipse Conique[Me1, Me2, -(Me1), -(Me2), M (1, 1) / sqrt(2)] et son demi-grand axe. La norme euclidienne de la matrice (qui n’est pas subordonnée à la norme des vecteurs) est la norme du vecteur donné par les deux demi-axes ou encore sqrt(Me1² + Me2²) (un point au carré signifie sa distance à zéro au carré dans Géogébra).

Pour visualiser l’exponentielle de la matrice M, on définit un point libre A et la suite de ses itérés Séquence[M^k A, k, 1, 10] et enfin la série associée à l’exponentielle de M appliquée à A : eMAn=A + Somme[Séquence[M^k A / k!, k, 1, n]] où n est un entier contrôlé par un curseur (n=4 suffit à ne plus voir de différence visuelle notable). On peut expérimenter avec d’autres séries.

Calculer la vraie valeur de l’exponentielle dépasse certainement le quart d’heure : on calcule d’abord la trace et le déterminant afin d’avoir le signe du discriminant du polynôme caractéristique puis les vecteurs propres et les valeurs propres. La matrice de passage P={{x(v_1), x(v_2)}, {y(v_1), y(v_2)}} est inversée PI = Inverser(P) pour donner l’exponentielle : eMA = P {{ℯ^λ_1, 0}, {0, ℯ^λ_2}} PI A à comparer avec la somme de Taylor.

C’est plus compliqué quand le discriminant est négatif car malgré un bon début, la gestion des complexes dans Géogébra n’est pas très uniforme...


Documents joints

Exponentielle d'une matrice 2x2
Exponentielle d'une matrice 2x2
Norme p, d'un vecteur et norme subordonnée (...)
Norme p, d'un vecteur et norme subordonnée (...)

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