Séance du 8 février

mardi 14 février 2012
par  Christian Mercat

Les symétries du tétraèdre sont au nombre de 24=4 ! car elles sont en bijection avec les permutations de ses 4 sommets. Elles se répartissent en permutations paires, représentables par des déplacements qui sont tous des rotations, et 12 anti-déplacements. Les symétries par rapport aux plans contenant une arête et le milieu de l’arête opposée (il y en a donc autant que d’arêtes soit 8), génèrent ces symétries. En en composant deux, on a tous les déplacements. Ces rotations sont de deux types,

  • celles qui préservent un sommet et sont d’ordre 3, ce qui en fait 8 différentes, sont le produit de deux symétries planaires dont les plans se coupent suivant une hauteur du tétraèdre et partagent un sommet, formant un angle dihédral de $\pi/3$ ;
  • celles qui sont le produit de deux symétries suivant des plans orthogonaux, associés à deux arêtes opposées du tétraèdre, c’est la symétrie axiale le long de leur perpendiculaire commune, d’ordre 2 et il y en a 3 différentes.

Elles sont toutes connexes à l’identité car ce sont des rotations dont l’angle peut être interpolé jusqu’à 0. Il y a donc 12 déplacements avec l’identité.

Les anti-déplacements ne se visualisent pas aussi bien. Les 8 simples sont à compléter par 4 autres qui sont des produits de 3 symétries planaires qui n’ont pas une droite commune.

Pour visualiser cela, il faut d’abord calculer les coordonnées des sommets d’un tétraèdre régulier. Soit $A(1;0;x)$ et $D(0;0;y)$, que valent $x, y$ pour que le centre du tétraèdre soit l’origine du repère ? Le centre de la face $ABC$ est $H(0;0;x)$, placé au tiers de la hauteur dans cette face. Le théorème de Pythagore nous informe que le côté du triangle rectangle de côtés $\frac 1 2, 1$ est $\sqrt 3$. Ce même côté est l’hypothénuse d’un triangle vertical dont la hauteur du tétraèdre est un des côtés, qui mesure donc $\sqrt 2$. Comme l’origine est isobarycentre des quatre sommets, elle est aussi le barycentre de $\{(H;3),(D;1)\}$, ce qui donne $A(1;0;-\frac{\sqrt 2}4), \; D(0;0;\frac{3\sqrt 2}4)$. Tout ceci se code comme suit en Géospace :

A point de coordonnées (1,0,-rac(2)/4) dans le repère Rxyz
B image de A par la rotation d'axe oz et d'angle 2*pi/3 (radian)
C image de A par la rotation d'axe oz et d'angle -2*pi/3 (radian)
D point de coordonnées (0,0,3*rac(2)/4) dans le repère Rxyz
P pyramide régulière d'axe oz, hauteur rac(2), base de sommet A à 3 côtés (unité de longueur Uxyz)
  Dessin de P: opaque

les fonctionnalités se trouvent dans les menus Créer>Point>Repéré dans l’espace, Créer>Point>image par>Rotation (axe-angle) et Créer>Solide>Polyèdre convexe>Pyramide régulière

La pyramide régulière est là pour contrôler qu’on ne s’est pas trompé, mais elle ne peut pas être utilisée ensuite pour en calculer l’image par des rotations.

On crée ensuite l’angle (Numérique>Variable réelle dans un intervalle) tA dans $[-\frac{2\pi}3,\frac{2\pi}3]$ et $[0,\pi]$, puis R la Transformation>Rotation (axe-angle) d’axe (oA) et d’angle tA, et enfin (d’un seul coup) A1 B1 C1 D1 images de A B C D par R, ainsi que le polyèdre convexe P1 associé. On pilote tA au clavier avec les flèches.

On crée ensuite le milieu M de [AB], l’angle s dans $[0,\pi]$, puis la rotation S d’axe (oM) et d’angle s. Avec Piloter>au clavier on peut choisir quel angle on pilote.

Pour éviter d’afficher un tétraèdre quand il est proche de l’original, on peut utiliser l’astuce extrêmement courante pour tout utilisateur de Géoplan-Géospace : on définit l’identité restreinte à $]-\infty,-\epsilon]\cup[\epsilon,\infty[$ à l’aide de la fonction µ qui vaut 1 pour un prédicat vrai et 0 pour un prédicat faux : Créer>Numérique>Fonction numérique>À 1 variable par f(x)=x/µ(abs(x)>0.1) nous donne ainsi une division par zéro dès que x est plus petit que 1/10, restreignant l’ensemble de définition.

On définit ainsi R et S comme des rotations d’angle f(t) et f(s) respectivement, faisant disparaitre les tétraèdres images pour s et t petits.

Le même travail peut être réalisé pour le cube. La combinatoire est un peu plus élaborée mais on retrouve des rotations d’ordre 3 respectant les quatre grandes diagonales, ce qui permet de comprendre que les huit sommets du cube sont répartis suivant deux ensembles de quatre sommets formant chacun un tétraèdre régulier. Plutôt que les coordonnées avec des racines de 2, on peut donc plutôt choisir les quatre sommets du cube de même parité : A(1 ;1;1) B(-1 ;-1 ;1) C(1 ;-1 ;-1) D(-1 ;1;-1) dont le côté est une diagonale du cube de mesure $\sqrt 2$.

Les symétries du cube sont plus rigides que le groupe des permutations à 4 éléments. Il compte, outre ces 4 rotations d’ordre 3 le long des grandes diagonales, 3 rotations d’ordre 4 le long des axes, et 6 symétries axiales (d’ordre 2) le long des perpendiculaires communes à deux arêtes opposées. Ce qui fait 4x2+3x3+6+1=24 déplacements et autant d’anti-déplacements. Encore une fois, les symétries par rapport aux plans évidents (6 perpendiculaires aux axes, 6 selon les plans définis par deux arêtes opposées parallèles) génèrent les autres symétries, moins visibles, en particulier la symétrie centrale par rapport à l’origine. Il est plus aisé pour le dénombrement de composer les déplacements avec la symétrie centrale.

Un script permettant de manipuler et visualiser les permutations a fait l’objet d’une séance avec CaRMétal. Vous pouvez tirer au hasard une permutation d’une taille donnée, la décomposer en cycles disjoints, calculer son ordre (le ppcm de la longueur de ces cycles), ses puissances successives, la décomposer en transpositions, la visualiser sous forme de "tresse plate" comme produit de transpositions élémentaires, calculer son successeur dans l’ordre lexicographique. Pour "faire tourner" le script, videz la figure (Édition>Effacer tout) puis lancez le script, sous le pictogramme ou Javascript>Permutations. Éditez le script pour l’étudier.

Les figures sont disponibles ici.


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