Géométrie plane, systèmes, polynômes d’endomorphismes

Quelques commentaires et questions
mercredi 7 mars 2012
par  Jérôme Germoni

Quelques mots sur les trois leçons vues avec moi les 14 et 15 février :

Isométries du plan ou de l’espace

Une remarque. Une propriété très utile des isométries est la décomposition suivante.

Théorème. Pour toute isométrie $f$, il existe une unique isométrie $g$ et une unique translation $t=t_u$ de vecteur $u$ telles que :

  • on a : $f=g\circ t=t\circ g$,
  • l’isométrie $g$ possède un point fixe,
  • le vecteur $u$ est stable par l’application linéaire associée à $f$.

Remarques sur cet énoncé :

  • les isométries $f$ et $g$ ont la même application linéaire associée $\overrightarrow{f}=\overrightarrow{g}$ ;
  • par le principe de conjugaison, on a : $g\circ t_u\circ g^{-1}=t_{\overrightarrow{g}(u)}$, si bien qu’il est équivalent de demander que $t$ et $g$ commutent et que $\overrightarrow{g}(u)=u$ ;
  • toute application affine peut s’écrire comme composée d’une application ayant un point fixe et d’une translation mais les contraintes supplémentaires la rendent unique et (donc) utile ;
  • l’unicité n’est pas garantie pour une application affine quelconque $f$, voici un exemple : $A=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)$ et $f(X)=AX$ pour $X$ dans $\mathbf{R}^2$ ; on peut prendre $g=f$ et $t=\mathrm{Id}$ mais aussi $g(X)=A(X-e_2)+e_2$ (qui fixe $e_2=(0,1)$) et $u=e_1=(1,0)$ ;
  • compte tenu de ce qui précède, la propriété qui permet de prouver la décomposition du théorème est que l’espace propre $\ker(\overrightarrow{f}-\mathrm{id})$ possède un supplémentaire stable par $f$ ; lorsque $f$ est une isométrie, c’est parce que son orthogonal est stable par $f$ ;
  • pour plus de détails, voir le livre de Michèle Audin, Géométrie, fin du paragraphe I.3 et proposition II.2.8.

Systèmes linéaires et algorithme de Gauss

Remarques sur le plan de la leçon « Systèmes »

  • Il faut distinguer les parties purement algébriques et les parties numériques.
  • Le comptage des opérations nécessaires pour pratiquer l’algorithme de Gauss n’est pas très difficile (cela revient, in fine, à calculer $\sum_{k=1}^nk$ et $\sum_{k=1}^nk^2$) mais sera, je n’en doute pas, fort apprécié en ces temps pro-algorithmiques.
  • Les questions des erreurs d’arrondi et de conditionnement sont délicates à traiter mais les évoquer ne coûte pas grand-chose (voir référence ci-dessous).
  • Le rapport du jury dit : « Cette leçon repose, fondamentalement, sur la notion de rang qui doit donc être évoquée sans tarder. On doit aussi mettre en valeur l’interprétation des systèmes d’équations linéaires en termes d’images réciproques par une application linéaire. La comparaison de différentes méthodes de résolution (y compris les méthodes du pivot) est également attendue. » Ce qui impose en particulier au plan d’évoquer au moins une autre méthode que le pivot.

L’idée « plus »

Le théorème suivant est relativement peu connu en France alors qu’il apparaît dès les premiers chapitres d’algèbre linéaire dans d’autres pays.

Théorème (fang sheng). Soit $A$ et $A'$ deux matrices de même taille. Il est équivalent de dire :

  • les noyaux de $A$ et $A'$ sont égaux (i.e. les systèmes $AX=0$ et $A'X=0$ sont équivalents) ;
  • il existe une matrice inversible $P$ telle que $A'=PA$ ;
  • les matrices $A$ et $A'$ ont même forme échelonnée réduite.

Références pour cette leçon :

  • Michelle Schatzman, Analyse numérique, :
    • chap. 9, paragraphe 9.2 : calcul de la complexité de l’algorithme de Gauss ;
    • juste après : exemple d’un système 2×2 mal conditionné, donnant lieu à des erreurs numériques importantes ;
    • pas trop loin : méthodes itératives ;
  • Cognet, Algèbre linéaire, chap. 4 : on y trouve l’engendrement de GL(n) par les transvections et les dilatations et celui de SL(n) par les transvections, puis des applications au centre de GL(n), au groupe dérivé de GL(n) et SL(n) et à la simplicité de PSL(n). Pour les applications, le Cours d’algèbre de Daniel Perrin est une bonne référence.
  • Roudier, Algèbre linéaire, chapitre 8 : je ne sais déjà plus ce qu’il y a dedans !
  • Pierre Gabriel, Matrices, géométrie, algèbre linéaire, partie A, chapitre 2 (début du livre) : présentation compacte de la forme échelonnée sous le nom d’algorithme Fang sheng (car la méthode apparaît sous ce nom dans Les neuf chapitres sur l’art mathématique, livre chinois du Ier siècle de notre ère).
  • Goblot, Algèbre linéaire : quelque chose de semblable avec un plus : l’idée de l’appliquer, mutatis mutandis, à des matrices à coefficients entiers : chapitre 3, II et chapitre 8 pour les modules sur les anneaux principaux —et application aux groupes abéliens de type fini et aux modules sur les anneaux principaux. On trouvait ça aussi dans le Cours d’algèbre de Daniel Guin mais il semble dur à trouver ; voir ceci.
  • Denis Serre, Les matrices, chap. 9 : méthodes itératives : d’autres méthodes que l’algorithme de Gauss pour résoudre un système.

Polynôme d’endomorphisme

Ajout du 7/3 : une preuve du lemme des noyaux.

On fixe un espace vectoriel $E$ de dimension finie sur un corps $K$ et un endomorphisme $u$ de $E$. Voici quelques questions :

  1. Quelle est la dimension de l’espace vectoriel $K[u]$ des polynômes en $u$ ?
  2. Soit $u$ un endomorphisme satisfaisant à $u^2-2u+3\mathrm{id}=0$.
    1. Calculer $u^{2012}$.
    2. Prouver qu’il existe un endomorphisme dont le carré est $u$. Donner une expression d’un tel endomorphisme comme polynôme en $u$.
    3. Mêmes questions en remplaçant le polynôme annulateur $X^2-2X+3$ par $(X-1)^2(X-2)$.
  3. Donner un polynôme qui annule ue matrice de permutation. Quel est le polynôme minimal (resp. le polynôme caractéristique) d’une matrice de permutation ?
  4. On suppose qu’il existe un vecteur $x$ de $E$ tel que $(x,u(x),u^2(x),\dots)$ engendre $E$. Prouver que tout endomorphisme qui commute à $u$ est un polynôme en $u$ [Variante : on suppose que $A$ est une matrice-compagnon d’un polynôme : prouver que toute matrice qui commute à $A$ est un polynôme en $A$.]

Documents joints

Lemme des noyaux
Lemme des noyaux

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