Pinaillages epsilonnesques

Écrit d’analyse 2012
mardi 6 novembre 2012
par  Jérôme Germoni

Écrit d’analyse 2012 et exercices du même genre : totalement élémentaires et pas toujours faciles.

Mots-clés pour les dernières épreuves d’analyse

  • 2012 : valeur d’adhérence d’une suite,
  • 2011 : équation différentielle non linéaire, opérateurs, espaces normés,
  • 2010 : équation fonctionnelle, série entière, polynômes de Bernoulli,
  • 2009 : transformée de Fourier, convolution, fonctions à décroissance rapide,
  • 2008 : étude asymptotique de suites, séries, réversion de Lagrange.

Écrit d’analyse 2012

PDF - 338.9 ko
Réponses pour l’écrit 2 de 2012

Il serait bien surprenant que tout soit à la fois juste et bien rédigé car personne n’a relu ce texte. Me contacter pour toute récrimination.

Des exercices de majoration

PDF - 219 ko
Exercices : majorer, pinailler

Feuille fabriquée pour le CAPES il y a longtemps mais bon, des outils « de base » qui peuvent toujours être utiles.

Un problème

Le problème ci-dessous provient du concours de l’École normale supérieure (1983). Il ressemble plus à une succession d’exercices indépendants sur un thème qu’à un problème constitué. Revue de demi-détail :

  • la partie I est totalement élémentaire : question 1 à savoir faire, question 2 amusante ;
  • la partie II exhibe une suite de polynômes qui converge uniformément vers une fonction continue sur un intervalle compact (ce n’est pas très difficile et ça reste mystérieux même à la fin de la démonstration)
  • la partie III permet de réviser les séries positives au prétexte d’une façon d’écrire les réels ;
  • la partie IV est peut-être plus tricky ; on en retiendra l’énoncé de IV.4.a, qui exprime que $\sqrt{2}$ est « mal approchable » par des rationnels.
PDF - 69.4 ko
Un joli problème élémentaire

Indication pour III.1 :

  • Unicité : par récurrence sur $r$ ; si $\sum_{k=1}^r\frac{a_k}{k!}=\sum_{k=1}^r\frac{a'_k}{k!}$, alors on obtient en multipliant par $(r-1)!$ :

    $$\sum_{k=1}^{r-1}(a_k-a'_k)\frac{(r-1)!}{k!}=\frac{a'_r-a_r}{r}.$$

    Dans le membre de gauche, un entier ; dans le membre de droite, un rationnel compris entre $\frac{1-r}{r}$ et $\frac{r-1}{r}$.
  • Existence : un algorithme glouton doit faire l’affaire : $a_1$ est la partie entière de $p/q$ ; si on a déjà construit $a_1,\dots,a_{r-1}$, prendre $a_r$ maximal tel que $\sum_{k=1}^r\frac{a_k}{k!}\le\frac{p}{q}$. Pour justifier que ça termine, une inégalité du genre : $\left|\frac{p}{q}-\sum_{k=1}^r\frac{a_k}{k!}\right|<\frac{1}{r!}$ doit donner l’annulation du membre de gauche pour $r\ge q$ (rationnel dont le dénominateur est au pire $r!$ et strictement plus petit que $1/r!$).

Commentaires

Logo de Webmaster IREM
samedi 10 novembre 2012 à 12h55, par  Webmaster IREM

J’ajoute une indication.

Logo de jeastier@gmail.com
vendredi 9 novembre 2012 à 15h59, par  jeastier@gmail.com

Je trouve pas le III) 1). C’est frustrant car avant, c’est vrai, c’est facile.
Cordialement

Je suis un candidat (mal barré :-) ) de l’Aca de Clermont.

Brèves

18 octobre 2015 - Questionnaires de la CII Université

L’objectif est de collecter de nouvelles réponses pour mieux mesurer l’impact de la réforme du (...)

27 janvier 2010 - Travailler par compétences et avec le socle commun

Conférence le 10 février au CRDP de Lyon de 9 h à 12 h, avec Jean Michel Zarkhartchouk

13 novembre 2008 - Probabilités en 3e

Texte issu d’une formation aux probabilités pour les professeurs de troisième faite par Y. Ducel (...)