Calcul différentiel (séance du 9/1/13)

vendredi 28 décembre 2012
par  Jérôme Germoni

Quelques pages semi-formelles sur le calcul différentiel. Quelques exercices ici et là.

Pour la séance du 9 janvier, vous serez supposés avoir lu ces pages, me les avoir fait corriger et compléter si nécessaire.

Exercice (proposé par Hélène, un peu complété) :

  1. Déterminer la différentielle du déterminant. [On pourra remarquer que la formule qui permet de développer le déterminant par rapport à une ligne ou à une colonne donne, au signe près, la dérivée partielle par rapport à une variable comme le cofacteur associé.]
  2. Application. En quels points la différentielle du déterminant s’annule-t-elle/est-elle surjective ? Qu’est-ce que cela nous dit de l’ensemble V des matrices non inversibles ?

Exercices (proposés par Laurent D.) :

  1. Quels sont les points critiques de la fonction $f:(x,y)\mapsto x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2$ ? Est-ce que $f$ admet un extremum en ces points ? Tracer l’allure des courbes de niveau $\{(x,y),\ f(x,y)=k\}$ ($k\in\mathbb{R}$) à partir de cette information — en particulier, la courbe de niveau $k=0$.
  2. Quelle est la différentielle de l’application de $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$, $X\mapsto(X,X)$ ?
  3. Quelle est la différentielle de l’application de $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, $X\mapsto\langle X,X\rangle$ (où $\langle .,.\rangle$ désigne le produit scalaire) ?

Exercices :

  1. Quelle est la différentielle de l’application $\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$, $(v_1,v_2)\mapsto v_1\wedge v_2$ ?
  2. On montre que toute matrice symétrique admet une valeur propre réelle. Pour cela, on se place dans $\mathbb{R}^n$ euclidien standard. Soit $A$ une matrice symétrique de taille $n\times n$. On considère l’application $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, $X\mapsto {}^tXAX$.
    1. Calculer la différentielle de $f$.
    2. Montrer que $f$ admet un maximum sur $S$, la sphère unité de $\mathbb{R}^n$. On note $X_0$ un point où ce maximum est atteint.
    3. Soit $h$ un vecteur orthogonal à $X_0$. Montrer qu’il existe une courbe $\gamma:\left]-\epsilon,\epsilon\right[\to S$, définie et dérivable sur un voisinage de $0$, telle que $\gamma(0)=X_0$ et $\gamma'(0)=h$. En déduire que $AX_0$ est orthogonal à $h$.
    4. En utilisant ce qui précède, montrer que $V_0$ est un vecteur propre de $A$.
  3. Quelle est la différentielle de l’application $f$ de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ dans les endomorphismes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ qui, à $g$, associe l’application linéaire $M\mapsto gMg^{-1}$ ? Même question avec $M\mapsto gM{}^tg$ (où la transposée porte sur $g$).

Documents joints

Calcul différentiel (version du 8/1)
Calcul différentiel (version du 8/1)

Commentaires

Logo de Michel ré
mardi 8 janvier 2013 à 13h58, par  Michel ré

Bonjour

nous sommes quelques uns sur l’académie de Clermont à nous interroger sur la dernière interrogation de la question 2) de l’exercice d’Hélène :

En effet la différentielle du déterminant semble s’annuler en toute matrice dont tous les Cofacteurs sont nuls, autrement dit en tout matrice de rang inférieur à n-2.
De plus la différentielle semble être surjective en toute matrice de rang supérieur ou égal à n-1.

Pour autant, on n’arrive pas à trouver ce qu’il faut en déduire sur l’ensemble des matrices non inversibles (matrices de rang inférieur à n-1) ; on pourrait être tenté de penser, que l’ensemble se "partitionne " entre deux sous ensembles : un où la différentielle est surjective, et l’autre où elle ne l’est pas.

L’ensemble des matrices de rang inférieur à n-2 étant un fermé (image réciproque de 0 par la différentielle du déterminant , qui est continue).
Malheureusement l’ensemble des matrices de rang exactement n-1 n’est pas fermé (on construit facilement une suite de matrices de rang n-1 qui convergent vers 0) : c’est dommage, ça nous aurait éventuellement permis de conclure que l’ensemble des matrices non inversibles n’est pas connexe (partition en deux fermés...)

Pourriez vous s’il vous plait, le cas échéant, nous donner des éléments de correction

Michel Ré (un suiveur de loin)

Logo de Manu
mercredi 2 janvier 2013 à 17h49, par  Manu

Pour lexo dHélène cf aussi gourdon p313 ou mieux Rombaldi "thèmes pour lAgreg" p92.
meilleurs voeux

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