Équi-répartition

vendredi 7 janvier 2011
par  Jérôme Germoni

Il y a plus de six ans que je crois, à tort, que le thème de l’équi-répartition va tomber au CAPES. Il permet en effet de faire de l’analyse assez fine avec des idées liées aux probabilités et aux systèmes dynamiques/évolutifs, et des applications en théorie des nombres (la répartition fine des multiples nβ d’un irrationnel β modulo 1 est très étudiée, voir par exemple Le fabuleux destin de la racine carrée de 2 de Benoît Rittaud). Ayant abandonné la préparation au CAPES, je vais continuer à me tromper avec constance à propos de l’agrégation interne.

Voici donc deux problèmes, dont un avec une solution (contenant sans doute des erreurs, faute de relecteurs), qui portent sur l’équi-répartition. L’un est tiré du concours de Mines, l’autre de Centrale, (donc) calibrés pour 4 h. Au cas où vous manqueriez de sujets de réflexion, n’hésitez pas à les chercher un peu pendant ces vacances !

Une suite (an) à valeurs dans [0,1[ est dite équi-répartie si elle passe « un temps uniforme dans tout intervalle ». Plus précisément, pour un entier N et un intervalle J inclus dans [0,1[, on note N(J) le nombre d’indices n compris entre 1 et N tels que an appartient à J. La suite est équi-répartie si la proportion N(J)/N admet pour limite la longueur de J lorsque N tend vers l’infini. Ainsi, la proportion de « temps passé » par la suite dans J est asymptotiquement la probabilité qu’un point tiré au hasard avec la mesure uniforme soit dans J.

  • Le problème des Mines (corrigé), assez général, démontre un critère d’équi-répartition et l’applique à des familles d’exemples et de contre-exemples.
  • Le problème de Centrale est plus spectaculaire : on y montre que les zéros de la troncature à l’ordre n du développement de Taylor de l’exponentielle, convenablement renormalisés, tendent pour n grand à s’accumuler près d’une courbe étudiée dans la première partie ; de plus, après une autre renormalisation, les arguments des zéros tendent à se répartir uniformément sur le cercle-unité.
  • (Ajout 5 janvier) Le corrigé fourni a été écrit pour le CAPES : il est localement inadapté car on s’y interdit le théorème de convergence dominée, qui est hors programme du CAPES jusqu’à la session 2011 alors qu’il est dans le programme de l’agrégation interne. Il y a possiblement d’autres problèmes plus sérieux.

Documents joints

Un problème des Mines
Un problème des Mines
Correction du problème des Mines
Correction du problème des Mines
Un problème de Centrale
Un problème de Centrale
Un corrigé du problème de Centrale 2001
Un corrigé du problème de Centrale 2001

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