L'énoncé de la situation
Problème : Globalement il s’agit de déterminer l’ensemble des pavages du plan utilisant des polygones réguliers. Pour une recherche en classe il peut être utile de se restreindre aux pavages stricts.
Énoncé 1 : Comment paver le plan avec des polygones réguliers ?
Énoncé 2 : Un polygone régulier est un polygone convexe dont tous les angles ont la même mesure et tous les côtés la même longueur.
Un pavage archimédien du plan est un recouvrement du plan par des polygones réguliers, sans trou, ni superposition, et tel qu'autour de chaque sommet, il y ait le même assemblage de polygones.
On exclut dans ce problème les pavages tels qu'un sommet de polygones appartienne au côté d'un autre comme sur la figure ci-dessous :
La recherche proposée est la détermination de tous les pavages archimédiens du plan.
Les mathématiques en jeu
- Les polygones réguliers : le triangle équilatéral, le carré, l'hexagone régulier ... pentagones, heptagones, ennéagones, ...
- Les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas
- Les angles : l’angle plein, l’angle plat, l’angle droit, les angles des polygones : il est à noter que leur reconnaissance pourra être contrariée
- Les mesures des ces angles, avec ou sans unité de mesure, en portion de l’angle plat, de l’angle droit
- Les multiples de 30, 90, 120 ; les multiples des mesures des angles des polygones réguliers ; les diviseurs de 360 ... les valeurs entières, décimales non entières, rationnelles non décimales des angles ou de leurs mesures ; les décompositions additives de 360.
- Les assemblages autour d’un nœud
- Les fractions et les relations de la forme Σ 1/n = k/2 - 1
- Les pavages; les pavages réguliers, les pavages archimédiens, les pavages moins réguliers
Analyse mathématique
Analyse didactique
Exemples de mise en œuvre
Pour aller plus loin
Retours d'expériences
Des retours d'expériences partagés par les enseignant.e.s du groupe d'expérimentation qui ont mis en place ce problème dans le cadre d'un enseignement fondé sur les problèmes
