Énoncé du problème
Ayant trouvé 21 m de grillage dans mon garage, j'ai décidé de les utiliser pour construire un enclos rectangulaire pour mes poules.
Afin d'obtenir un enclos plus grand, j'ai pensé utiliser le mur du jardin qui formerait un côté, le grillage formant les trois autres côtés.
Après avoir placé un premier piquet en A, je m'interroge sur l'emplacement du second piquet (appelé B sur mon croquis) :
♦ Sa position change-t-elle l'aire de mon enclos ?
♦ Existe-t-il une position pour le point B où l'aire de l'enclos est la plus grande ?
Les mathématiques travaillées ou à travailler
♦ Production de formules et/ou de méthodes en utilisant le calcul littéral (expression algébrique d'une fonction)
♦ Formule d'aire et de périmètre du rectangle
♦ Utilisation du tableur (tableau de valeurs d'une fonction)
♦ Utilisation du grapheur (représentation graphique d'une fonction) (ce registre sera normalement moins utilisé par les élèves car la solution décimale reste relativement simple à trouver : 5+1/4).
Solutions possibles
Solution experte
Il s'agit d'étudier ici la fonction f définie, sur l'intervalle [0; 21/2 ] par : f(x) = x(21 - 2x)
Une étude des variations de f montre qu'elle admet un maximum en 5,25 et qu'en ce point la valeur de cette fonction est 55,125.
Conclusion : L'aire est maximale quand le piquet B est placé à 5,25 m du mur et dans ce cas l'aire est 55,125 m2.
Analyse a priori des stratégies des élèves
♦ Par essais successifs : On arrive facilement à la conclusion que la position du piquet B influe sur l'aire de l'enclos et celle-ci est assez grande s'il est éloigné à 5 m du poteau.
♦ Modélisation de la situation la situation à l'aide d'un tableur en saisissant comme formule < Bi =Ai*(21-2*Ai) >. Le pas de la colonne A est à la charge de l'élève.
♦ En plus du travail sur le tableur, l'élève peut en faire l'interprétation graphique et visualiser le maximum.
♦ Utilisation de la symétrie : les valeurs extrêmes (0 et 10,5) donnant lieu à des situations identiques, le cas médian (5,25) est optimal (car on se trouve implicitement à étudier une fonction du second degré ayant pour axe de symétrie la droite d'équation x=5,25).
Retours d'expériences
Des retours d'expériences partagés par les enseignant.e.s du groupe d'expérimentation qui ont mis en place ce problème
