La monnaie. problème 21.

mardi 3 février 2015
par  Maryvonne Le Berre

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La monnaie

Réponses

Question 1.

Pour régler un achat de 12 ECO :

  • On peut donner 2 pièces de 5 ECO et une pièce de 2 ECO.
  • On peut donner 6 pièces de 2 ECO.
  • On peut donner 4 pièces de 5 ECO et reprendre 4 pièces de 2 ECO.

Question 2.

  • 2 façons pour 11 ECO : 1 x 5E + 3 x 2E et 3 x 5E - 2 x 2E
  • 3 façons pour 15 ECO : 1 x 5E + 5 x 2E, 3 x 5E et 10 x 2E – 1 x 5E
  • 5 façons pour 33 ECO (les lecteurs curieux sont invités à vérifier ce résultat ainsi que le suivant...avant de se reporter à la fin de cet article)
  • 9 façons pour 69 ECO

Question 3.

On peut régler n’importe quel achat en nombre entier d’ECO.

En effet on peut régler 1 ECO en donnant 1 pièce de 5 et en reprenant 2 pièces de 2.

Remarque : sans retour de monnaie, on peut tout régler sauf 1 et 3.

  • 2
  • 4 = 2 + 2
  • 5
  • 6 = 2 + 2 + 2
  • 7 =5 + 2
  • 8 = 2 + 2 + 2 + 2
  • 9 = 5 + 2 + 2
  • 10 = 5 + 5 ...

Démarches possibles

Question 1 :

Elle a pour but d’attirer l’attention des élèves sur la solution « avec échange », celle où on rend la monnaie. Il sera peut-être utile de se mettre d’accord sur le fait qu’on ne fait pas d’échanges « inutiles », comme donner deux pièces de 5 et en récupérer une.

Avant de passer à la question 2, on peut laisser les élèves chercher des solutions avec des nombres de leur choix.

Question 2

Les nombres sont à adapter au niveau de la classe. Ce problème se prête à une recherche collective. On peut faire chercher les élèves par petits groupes dès le début.

Dans un premier temps, ils auront besoin de jouer avec les nombres pour s’approprier la situation. Après un petit temps de recherche, on peut mettre en commun les premières réponses trouvées, et les stratégies.

Exemples de stratégies

Par exemple, pour 33 Eco, des élèves peuvent utiliser les résultats trouvés pour 11 et tout multiplier par 3. Cela donne : pour 11 :3 pièces de 5 et 9 pièces de 2, pour 33 : 9 pièces de 5 avec rendu de 6 pièces de 2. Mais cette dernière solution est discutable : 6 pièces de 2 cela fait 12 ECO, donc on a donné 2 pièces de 5 en trop. On peut la corriger en 7 pièces de 5 avec rendu de 1 pièce de 2.

En utilisant les résultats obtenus pour 15, on trouve pour 30 ECO, et il suffit d’ajouter une pièce de 5 et de récupérer une pièce de 2 pour obtenir 33.

2 +1 pièces de 5, 10-1 pièces de 2

6 +1 pièces de 5, -1 pièce de 2 (rendue)

20-1 pièces de 2, -1 pièce de 5 (rendue)

Importance d’une trace écrite

Une des difficultés que vont rencontrer les élèves sera de retrouver plusieurs fois la même solution sans s’en rendre compte. Or les élèves spontanément ne gardent pas de traces de leur recherche. Il faut inciter les élèves à noter leurs essais. On peut motiver cet effort par la participation à un affichage commun.

Pour être sûr d’avoir trouvé toutes les solutions, on peut examiner toutes les possibilités avec des pièces de 5. 

1 pièce de 5 ? 5 + 28 = 33, on complète avec des pièces de 2.

On peut régler avec 3, 5 ou 7 pièces de 5, puisqu’à chaque fois il reste un nombre pair.

Peut-on régler seulement en pièces de 2 ? Oui car 33 + 5 = 38, on donne 19 pièces de 2 et on récupère une pièce de 5.

Et si l’on donne un nombre pair de pièces de 5, par exemple 4 ? Il reste alors 13 euros à régler, et cela va nécessiter soit de redonner 1 pièce de 5, soit d’en reprendre 1, et on retombe sur une des solutions déjà vues.

Résumons dans un tableau les solutions pour 33.

Nombre de pièces de 5 Nombre de pièces de 2 Somme en pièces de 5 Somme en pièces de 2 A rendre
0 19 38 5
1 14 5 28 0
3 9 15 18 0
5 4 25 8 0
7 35 2

Voici les 9 solutions pour 69.

Nombre de pièces de 5 Nombre de pièces de 2 Somme en pièces de 5 Somme en pièces de 2 A rendre
37 74 5
1 32 5 64 0
3 27 15 54 0
5 22 25 44 0
7 17 35 34 0
9 12 45 24 0
11 7 55 14 0
13 2 65 4 0
15 0 75 0 6

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