Le Petit Poucet

mercredi 16 octobre 2013
par  Maryvonne Le Berre

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Le Petit Poucet

Le Petit Poucet peut faire des bonds de 7 lieues et des bonds de 4 lieues.

Remarque préliminaire

Peut-on choisir n’importe quelle distance à parcourir ? Autrement dit :

en ajoutant des 4 et des 7 peut-on atteindre n’importe quel nombre entier ?

La réponse est oui, à partir d’un certain rang. Pour s’en convaincre, il suffit de classer les premiers entiers selon leur reste dans la division par 4.

0123
4567
891011
12131415
16171819
20212223
24252627
28293031
La première colonne ne comporte que des multiples de 4, donc seul 0 est hors d’atteinte. Dans les autres colonnes, on peut atteindre tous les nombres à partir du premier multiple de 7 rencontré, puisqu’on passe d’une ligne à l’autre en ajoutant 4.

La question posée aux élèves est de minimiser le nombre d’opérations (le nombre de bonds du Petit Poucet), ce qui revient à utiliser un maximum de 7.

Choix des nombres à atteindre

Il n’est évidemment pas intéressant de proposer des multiples de 7. Les cibles les plus faciles sont les nombres de la forme 7n + 4, comme 32 ou 74.
Les multiples de 4, comme le premier nombre proposé 40, offrent l’avantage d’une solution rapide : on peut faire 10 bonds de 4 lieues, puis remplacer 7 bonds de 4 lieues par 4 bonds de 7 lieues.

Exemples de démarches possibles pour 69  :

  • Division par 7 puis ajustement
    69 = 9 x 7 + 6
    69 = 8 x 7 +7 + 6
    69 = 7 x 7 +7 + 7+ 6 et 7 + 7 + 6 = 5 x 4 !!
  • Ajustement en partant du même nombre de bonds de 4 et de 7
    69 = 6 x (7 + 4 ) + 3
    Mais 4 + 3 = 7, en enlevant un bond de 4, on récupère un bond de 7
    69 =7 x 7 + 5 x 4
  • Utilisation du résultat précédent : 40 = 4*7 + 3 x 4
    De 44 à 69, il y a 29 soit 21 +8.
    D’où : 69 = 40 + 29 = 4 x 7 + 3 x 4 +3 x 7 + 2 x 4
  • Soustractions successives de 7.
    69 - 7 = 62
    62 - 7 = 55
    55 - 7 = 48 = 12 x 4. Erreur possible : s’arrêter là.
    48 - 7 = 41
    41 - 7 = 34
    34 - 7 = 7
    27 - 7 = 20 = 5 x 4.
  • Soustractions successives de 4 (plus judicieux)
    69 - 4 = 65
    65 - 4 = 61
    61 - 4 = 57
    57 - 4 = 53
    53 - 4 = 49 = 7*7.
  • ETC.... Beaucoup d’élèves préféreront les écritures additives : 7 + 7 + 7 plutôt que 3 x 7

    Difficultés prévisibles

    Erreurs de calcul. On peut choisir de donner la calculatrice ou une table de multiplication.
    Essais désordonnés.
    Blocage. A des élèves qui n’entrent pas dans le problème, on peut demander de chercher toutes les distances que le Petit Poucet peut franchir en 3 bonds, en 4 bonds.


    Commentaires

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