DREAMaths Démarche de Recherche pour l'Enseignement et l'Apprentissage des Mathématiques

La fourmi

Énoncé du problème

Une fourmi peut rentrer ou sortir dans un piège par le point A. Quand elle est à un sommet, elle choisit au hasard une des trois arêtes qui passent par ce sommet.

La fourmi est vivante si elle retourne au point A en ayant parcouru au plus 4 arêtes.

Sa chance de survie est-elle supérieur ou inférieure à une chance sur deux ?
Essaye d'estimer sa chance de survie.

Variante :

On peut choisir un autre polyèdre sur lequel se déplacerait la fourmi.

FourmiIllustration

Choix du problème

Compétences transversales

♦ Former les élèves à la pensée statistique et aux phénomènes aléatoires.
♦ Construire des outils de synthèse (tableaux, arbres, pourcentages, fréquences).
♦ Construire des outils de représentation (diagrammes et graphiques divers).
♦ Construire des caractères de position d'une série statistique (moyenne, médiane. . .).

Connaissances mathématiques

♦ Calculer des fréquences ou des pourcentages.
♦ Dénombrer.
♦ Calculer une probabilité.
♦ Utiliser la notion de fraction.

Solution possible

Première solution

L'univers est constitué de tous les chemins possibles que la fourmi peut parcourir ne dépassant pas quatre arêtes.
On nomme S l'évènement : « la fourmi survit à cette expérience c'est-à-dire la chaîne de sommets contient exactement un autre A ».

Par exemple :
♦ A − B − C − A est une chaîne pour laquelle la fourmi survit,
♦ A − B − C − D − B est une chaîne pour laquelle la fourmi meurt.

On nomme Ai l'évènement : « la fourmi a parcouru i arête(s)», avec i un entier entre 1 et 4.
P(S) = P(S ∩ A1) + P(S ∩ A2) + P(S ∩ A3) + P(S ∩ A4)

LaFourmicalculs

Attention à ne pas se restreindre à un arbre où les branches s'arrêtent dès qu'on obtient le sommet A!