Topologie et Théorie de la Mesure, Automne 2025

Horaires

Cours : le mardi de 15h45 à 17h15 et le vendredi de 11h30 à 13h (salle variable parfois aussi le vendredi de 14h à 15h30 en cas de CC)

TD mardi 14H-15H30 et vendredi 14H-15H30. (salle variable).

Cours

Polycopiés du cours : Nouvelles versions des chapitres 1 à 3 (Les Appendices sont hors programme et donnent des poursuites de lectures pour celles et ceux qui envisagent de continuer en Master de Maths).

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Références supplémentaires (donc non essentielles pour suivre le cours)

Pour les chapitres de topologies:

Analyse de Xavier Gourdon, ellipses 1994, Collection les maths en tête (Chapitre 1 et Annexe B.)

Mathématiques 2ème année: Cours et exercices corrigés, sous la direction de Claude Deschamps, F. Moulin et A. Warusfel Dunod (Chapitres 1, 10, 11, 16 et 18.)

Mathématiques tout-en-un, de Claude Deschamps, F. Moulin et A. Warusfel Dunod Disponible en ligne (Chapitres 3 à 6 et Chapitres 13 et 14.)

Pour les chapitres d'intégrations:

Probabilité de Philippe Barbe et Michel Ledoux, EDP Sciences 2007 (chapitres 1 et 2)

Pour des cours plus complets et détaillés, on pourra aussi se référer aux polycopiés des cours du parcours de Mathématiques générales:

Mesures et intégration (Petru Mironescu)

Topologie (Julien Melleray)

Progression du Cours

Cours du 02/09/2025 (1H30): Rappels sur les ensembles. Ensembles (au plus) dénombrables. Caractérisation concrète et en terme de surjection depuis $\N$. Stabilité par produits.

Cours du 05/09/2025 (1H30): Exemples classiques. Stabilité par union dénombrable des ensembles au plus dénombrables. Théorème de Cantor et exemple usuel d'ensembles non-dénombrables. Rappels sur les sommes finis (sommation par paquet et interversion de sommes)

Cours du 9/09/2025 (1H30): Définition d'une famille sommable à termes positifs. Dénombrabilité du support. Premières propriétés (relation à la convergence absolue, lemme de permutation) Théorème de sommation par paquet (cas positif et général), Théorème de Fubini-tonelli. Exemple de calcul d'une somme double.

Cours du 12/09/2025 (3H): Espace vectoriel des familles sommables (à coefficients complexes) Théorème de Fubini. Chapitre 2: Distances, normes et leur équivalence, Boules et bornés, Convergence de suite, suite de Cauchy et définition de la complétude. Complétude (caractérisation des Banach en terme de convergence de séries),

Cours du 16/09/2025 (1h30) : Théorème du point fixe de Banach. Ouverts, Intérieur.

Cours du 19/09/2025 (3h) : Fermés, adhérence, densité, frontière, fonctions continues (caractérisation séquentielle et topologique, exemples) et uniformément continues, Exemples de fonctions uniformément continues. Thm de Prolongement des identités.

Cours du 23/09/2025 (1h30) : thm de prolognement des fonctions uniformément continues. Norme infinie sur les fonctions continues bornées (complétude si espace d'arrivée complet). Applications linéaires continues, norme suborndonnée, caractérisation des formes linéaires continues et application à la complétude des evn de dimensions finies.

Cours du 26/09/2025 (1h30) : Isométrie, complétude de L(E,F) pour F complet. Fin des Propriétés particulières aux evn de dimension finie (continuité des applications linéaires et équivalence des normes), Compacité : définition et exemple de fermés non compacts et de fermés bornés non compacts. Image continue d'un compact et conséquences.

Cours du 30/09/2025 (1h30) : Compacts en dimension finie. Théorème de Heine. Propriété de Borel-Lebesgue pour la compacité topologique . Rappels sur l'intégrale de Riemann (à valeur Banach): fonctions continues par morceau et en escalier, formule dans le cas en escalier. Rappels sur l'intégrale de Riemann (suite): prolongement, propriétés usuelles dont inégalité triangulaire, linéarité.

Cours du 03/10/2025 (3h) : Bref rappel sur les intégrales impropres, les fonctions intégrables et les dominations usuelles. Espaces métriques séparables. Convexité: ensembles convexes, exemple des boules d'evn. Cône tangent et normal à un convexe. Fonctions convexes (définition et premières propriétés). Formule de calcul du cône normal à un convexe défini par des contraintes convexes $C^1$. (admis) Fonctions convexes de R: inégalité des pentes et dérivées à droite et à gauche.

Cours du 07/10/2025 (1h30) : Caractérisation de la convexité des fonctions dérivables par croissance de la dérivée. Rappel sur les différentielles (de Fréchet) entre e.v.n. Caractérisation différentielle des fonctions convexes dans un e.v.n.

Cours du 10/10/2025 (1h30) : Théorème de minimisation sous contrainte convexe avec CNS du première ordre. Application au théorème de projection sur un convexe fermé (dans R^n) et à la visualisation des cônes normaux de convexes fermés.

Cours du 14/10/2025 (1h30) : Rappels pour le cours d'intégration: droite réelle étendue, liminf et limsup. Définition d'une tribu. Définition d'une mesure et d'une probabilité. Premières propriétés d'une mesure. Tribu engendrée par une famille de partie.

Cours du 17/10/2025 (1h30) : Exemples de Tribus engendrées par une famille de partie (cas fini et borélien d'un espace métrique). Parties génératrices usuelles des boréliens dans R^n (dont les pavés). Exemples simples de mesures (comptage, Dirac, mesure sur un espace fini). Théorème définissant la mesure de Lebesgue (admis). Mesure image. Fonctions mesurables et boréliennes. Stabilité par composition.

Cours du 21/10/2025 (1h30): Formulation de la mesurablité en terme de parties génératrices. Conséquences: continue implique borélien, et mesurabilité coordonnée par coordonnée dans R^n. Mesurabilité des limites simples et des sup. (admis). Fonctions étagées positives et leur intégrale. Approximation des fonctions mesurables positives par des étagées.

Cours du 24/10/2024 (3h) Définition de l'intégrale des fonctions positives et premières propriétés. Théorème de Convergence monotone. Application à l'additivité de l'intégrale des fonctions positives. Interversion série-intégrale (cas positif). Lemme de Fatou. Définition des fonctions intégrables et de leur intégrale. Propriétés de base des fonctions intégrables: stabilité par combinaison linéaire et domination, finitude presque partout. Théorème de convergence dominée. (Exo 19 du TD 5) Exemples et application à l'interversion série-intégrale.

Cours du 04/11/2025 (1h30): Intégrales dépendants d'un paramètre: Théorèmes de continuité et dérivabilité avec conditions de domination. Corollaire pour la dérivation successive (Exo 17 du TD 5). Application aux transformées de Fourier.

Cours du 07/11/2025 (1h30): Fin du chapitre 4 : Théorème de transfert. Lemme de Doob-Dynkin (décrivant les fonctions mesurables par rapport à la tribu engendrée par f). Comparaison entre intégrales de Riemann et de Lebesgue. Mesure à densité. Comparaison entre familles sommables et intégrales de Lebesgue.

Cours du 18/11/2025 (1h30): Début du chapitre 5: Tribu et mesures produits. Cas des boréliens et des mesures de Lebesgue. Théorèmes de Fubini-Tonelli. Exemple de calcul d'aire. Théorème de Fubini (admis).

Cours du 21/11/2025 (1h30): Inégalité de Jensen, Théorème de changement de variable (cas affine avec preuve) Rappels de L2: difféomorphisme et théorème d'inversion globale. Théorème de changement de variable, Exemples de changements de variable (coordonnées polaires). Début du chapitre 6 : espace L^\infty (définition ),

Cours du 25/11/2025 (1h30): espace L^\infty: norme et complétude. Espaces L^p: définition, Inégalités de Hölder et de Minkowski. Théorème de convergence dominée L^p pour 1<= p<+\infty et application au Théorème de complétude de L^p.

Cours du 28/11/2024 (1h30): Fin du chapitre 6: relations entre convergence mu-p.p. et convergence L^p pour 1<= p<+\infty (implication à extraction prêt depuis la convergence L^p et avec condition de domination L^p pour l'autre sens). Résultats de densité des fonctions à support compact dans le cas d'un ouvert de $\R^n$ (admis). Début du chapitre 7: Définition d'un espace préhilbertien et inégalité de Cauchy-Schwarz (preuve renvoyée au cours d'algèbre) Identités du parallélogramme et de polarisation, Exemple de l'espace de Hilbert L^2.

Evaluation

Un partiel CP de 1H30 (20%), 2 CC de 1H30 (20%) et un controle final CT de 2H30 (40%). La moyenne est obtenue avec la règle du maximum pour le CP, MOYENNE=MAX(0.6*CT+0.2*CC1+0.2*CC2,0.4*CT+0.2*CP+0.2*CC1+0.2*CC2).

Calendrier

CC1 le vendredi 10/10 de 11h30 à 13h, CC2 le vendredi 7/11 de 11h30 à 13h, CP le vendredi 21/11 de 11h30 à 13h.

Il y aura un contrôle de substitution (commun au CC1 et CC2) pour les ABSENTS: le vendredi 12/12 de 15h45 à 17h15. Le programme sera l'union des programmes des CC1 et CC2, comme pour le CC de session 2. Si la note au contrôle de substitution est CCS, la note de chaque CC sera remplacé par max(CCS, CCi) pour i=1,2. (Autrement dit, en cas de présence à un seul des CC, la moyenne des CC après substitution sera le maximum de la note de CCS et de la moyenne de cette note avec la note du CC passé). ATTENTION: une absence à un CC et au CC de substitution vaut défaillance à l'UE en session 1.

CC de session 2 en juin/juillet (durée 1H30): pour tous les étudiants n'ayant pas validé l'UE en session 1

CT en janvier (date déterminée par la scolarité): durée 2H30. CT de session 2 en juin/juillet (durée 1H30)

CC1

Le CC1 aura lieu le vendredi 10/10 de 11h30 à 13h.

Programme : Exos sur les TDs 1 et 2 et Questions de Cours (Programme : Définitions importantes et Grands résultats des Chapitres 1, 2 )

Définitions à réviser:

1.3 (dénombrable et au plus dénombrable), 1.4 (familles sommables, cas positif), 1.5 (familles sommables, cas général), 2.1 (distance), 2.2(norme),2.3 (distances équivalentes), 2.4 (boule ouverte, boule fermée), 2.11 (ouverts), 2.17 (fonctions continues), 2.19 (fonctions uniformément continues et lipschitziennes), 2.21 (norme subordonnée), 2.23 (compacité d'un espace métrique),

Propositions, théorèmes, corollaires à réviser:

1.3 (description concrète des ensembles au plus dénombrables), 1.4 (caractérisation surjectives des ensembles au plus dénombrables), 1.6 (ex. usuels d'ensembles infinis dénobrables), 1.8 (théorème de Cantor), 1.9 (ex. usuels d'ensembles infinis non dénobrables), 1.15 (sommation par paquet, cas positif), 1.16 (Fubini-Tonelli pour les familles sommables), 1.19 (sommation par paquet, cas général), 1.20 (Fubini pour les familles sommables) 2.6 (caractérisation de la complétude par série, avec les définitions de série absolument convergente) 2.8 (Thm. du point fixe de Banach), 2.10 (propriétés topologiques des ouverts), 2.11 (ouverts pour la métrique induite), 2.12 (caractérisation de l'intérieur), 2.14 (propriétés topologiques des fermés), 2.15 (caractérisation séquentielle des fermés), 2.20 (caractérisation séquentielle de l'adhérence), 2.21 (caractérisation séquentielle de la continuité), 2.22 (caractérisation topologique de la continuité), 2.24 (Prolongement des identités), 2.27 (Prolongement des applications uniformément continues) 2.28 (Complétude des espaces de fonctions continues) 2.33-2.34-2.35 (propriétés particulières en dimensions finie) 2.41 (image directe des compacts), 2.42 (Théorème de Weierstrass), 2.44 (les compacts de \R^n), 2.45 (Théorème de Heine)

Voici le Sujet (et sa correction)

CC2

Le CC2 aura lieu le 7 novembre 2025 de 11h30 à 13H.

Programme : Exos (dans R^n) sur les TDs 3 et 4 et Questions de Cours (Programme : Définitions importantes et Grands résultats des Chapitres 3 et chapitres 4: 4.1 à 4.3 )

Définitions à réviser: 3.1 (ensemble convexe), 3.2 (le cône tangent et le cône normal),3.3 (fonction convexe), 4.1(limsup et liminf), 4.2(tribu), 4.3 (mesure), 4.4 (ensemble négligeable), 4.6 (tribu borélienne), 4.12 (intégrale d'une fonction positive)

Propositions, théorèmes, corollaires à réviser: 3.6 (Théorème décrivant les cônes normaux de convexes définis par contraintes), 3.8 (inégalité des pentes), 3.9 (dérivabilité des fonctions convexes sur \R), 3.12 (caractérisation différentielle des fonctions convexes), 3.14 (théorème de minimisation sous contrainte convexe) 3.15 (théorème de projection sur un convexe fermé de R^n), 4.3 (propriétés usuelles des mesures), 4.6 et 4.7 (systèmes générateurs usuels des boréliens de R^n), 4.9 (Théorème définissant la mesure de Lebesgue) 4.11(Composition des fonctions mesurables) 4.18 (Stabilités des fonctions mesurables par limites). 4.21 (Approximation des fonctions mesurables positives) 4.23 (Théorème de convergence monotone), 4.26 (Interversion série-intégrale dans le cas positif) 4.27 (lemme de Fatou). Voici le Sujet (et sa correction)

CP

Le CP aura lieu le 21 novembre 2025 de 11h30 à 13H.

Programme : Exos sur les TDs 1 à 5 (surtout TD 3 et TD 5) et Questions de Cours (Programme : Définitions importantes et Grands résultats du chapitre 4 dans la liste suivante)

Définitions à réviser: 4.1(limsup et liminf), 4.2(tribu), 4.3 (mesure), 4.4 (ensemble négligeable), 4.6 (tribu borélienne), 4.12 (intégrale d'une fonction positive) , 4.13 (fonction intégrable)

Propositions, théorèmes, corollaires à réviser: 4.3 (propriétés usuelles des mesures), 4.6 et 4.7 (systèmes générateurs usuels des boréliens de R^n), 4.9 (Théorème définissant la mesure de Lebesgue) 4.11(Composition des fonctions mesurables) 4.18 (Stabilités des fonctions mesurables par limites). 4.21 (Approximation des fonctions mesurables positives) 4.23 (Théorème de convergence monotone), 4.26 (Interversion série-intégrale dans le cas positif) 4.27 (lemme de Fatou). 4.29 (propriétés de bases de l'intégrale des fonctions intégralbes), 4.30 (Théorème de convergence dominée), 4.31 (Interversion série-intégrale dans le cas intégrable), 4.32 ( Théorème de transfert) 4.34 (Comparaison à l'intégrale de Riemann) 4.35 (Mesures à densités), 4.38 (Théorème de continuité avec condition de domination) 4.40 (Théorème de dérivation successive)

Feuilles d'exercices

Feuille 1 (version en police Sans Sérif (type Arial) ou Sans Sérif 17 points) Pour d'autres exercices accessibles sur les familles sommables, on pourra consulter ici.

Feuille 2(version en police Sans Sérif (type Arial) ou Sans Sérif 17 points ) La correction des exercices non-vus en TDs se trouve ici ( version Sans Sérif 17 points ).

Feuille 3 (version en police Sans Sérif (type Arial) ou Sans Sérif 17 points et sa Correction partielle du TD3)

Feuille 4 (version en police Sans Sérif (type Arial) ou Sans Sérif 17 points )

Feuille 5 (version en police Sans Sérif (type Arial) ou Sans Sérif 17 points )

Feuille 6 (version en police Sans Sérif (type Arial) ou Sans Sérif 17 points )

Feuille 7.