Topologie et Théorie de la Mesure, Automne 2024

Horaires

Cours : le mardi de 15h45 à 17h15 et le vendredi de 11h30 à 13h (salle variable parfois aussi le vendredi de 14h à 15h30 en cas de CC)

TD mardi 14H-15H30 et vendredi 14H-15H30. (salle variable).

Cours

Polycopié du cours :Cours complet. (les Appendices sont hors programme et donnent des poursuites de lectures pour celles et ceux qui envisagent de continuer en Master de Maths)

Références supplémentaires (donc non essentielles pour suivre le cours)

Pour les chapitres de topologies:

Analyse de Xavier Gourdon, ellipses 1994, Collection les maths en tête (Chapitre 1 et Annexe B.)

Mathématiques 2ème année: Cours et exercices corrigés, sous la direction de Claude Deschamps, F. Moulin et A. Warusfel Dunod (Chapitres 1, 10, 11, 16 et 18.)

Mathématiques tout-en-un, de Claude Deschamps, F. Moulin et A. Warusfel Dunod Disponible en ligne (Chapitres 3 à 6 et Chapitres 13 et 14.)

Pour les chapitres d'intégrations:

Probabilité de Philippe Barbe et Michel Ledoux, EDP Sciences 2007 (chapitres 1 et 2)

Pour des cours plus complets et détaillés, on pourra aussi se référer aux polycopiés des cours du parcours de Mathématiques générales:

Mesures et intégration (Petru Mironescu)

Tologie (Julien Melleray)

Progression du Cours

Cours du 03/09/2024 (1H30): Rappels sur les ensembles. Ensembles (au plus) dénombrables. Caractérisation concrète et en terme de surjection depuis $\N$. Stabilité par produits et exemples classiques.

Cours du 06/09/2024 (1H30): Stabilité par union dénombrable des ensembles au plus dénombrables. Théorème de Cantor et exemple usuel d'ensembles non-dénombrables. Définition d'une famille sommable à termes positifs. Dénombrabilité du support. Premières propriétés (relation à la convergence absolue, lemme de permutation)

Cours du 10/09/2024 (1H30): Théorème de sommation par paquet (cas positif et général), Théorème de Fubini-tonelli. Exemple de calcul d'une somme double. Espace vectoriel des famills sommables (à coefficients complexes) Théorème de Fubini.

Cours du 13/09/2024 (1H30): Distances, normes et leur équivalence, Boules et bornés, Convergence de suite, suite de Cauchy et définition de la complétude.

Cours du 13/09/2024 (1H30): Complétude (caractérisation des Banach en terme de convergence de séries, théorème du point fixe de Banach). Ouverts, Intérieur.

Cours du 20/09/2024 (3h) :Fermés, adhérence, densité, ensembles séparables, frontière, fonctions continues (caractérisation séquentielle et topologique, exemples) et uniformément continues, Exemples de fonctions uniformément continues.

Cours du 24/09/2024 (1h30) : Prolongement des identités et thm de prolognement des fonctions uniformément continues. Norme infinie sur les fonctions continues bornées (complétude de cet esapce d'arrivée complet). Applications linéaires continues, norme suborndonnée, Isométrie, complétude de L(E,F) pour F complet,

Cours du 27/09/2024 (1h30) : caractérisation des formes linéaires continues et application à la complétude des evn de dimensions finies. Fin des Propriétés particulières aux evn de dimension finie (continuité des applications linéaires et équivalence des normes), Compacité : définition et exemple de fermés non compacts et de fermés bornés non compacts.

Cours du 01/10/2024 (1h30) : Image continue d'un compact et conséquences. Compacts en dimension finie. Théorème de Heine. Propriété de Borel-Lebesgue pour la compacité topologique . Rappels sur l'intégrale de Riemann (à valeur Banach): fonctions continues par morceau et en escalier, formule dans le cas en escalier.

Cours du 04/10/2024 (3h) : Rappels sur l'intégrale de Riemann (suite): prolongement, propriétés usuelles dont inégalité triangulaire, linéairté. Bref rappel sur les intégrales impropres, les fonctions intégrables et les dominations usuelles. Convexité: ensembles convexes, exemple des boules d'evn. Cône tangent et normal à un convexe. Fonctions convexes (définition ét premières propriétés). Formule de calcul du cône normal à un convexe défini par des contraintes convexes $C^1$. (admis) Fonctions convexes de R: inégalité des pentes et dérivées à droite et à gauche.

Cours du 08/10/2024 (1h30) : Caractérisation de la convexité des fonction dérivable par croissance de la dérivée. Rappel sur les différentielles (de Fréchet) entre e.v.n. Caractérisation différentielle des fonctions convexes dans un e.v.n.

Cours du 11/10/2024 (1h30) : Théorème de minimisation sous contrainte convexe avec CNS du première ordre. Application au théorème de projection sur un convexe fermé (dans R^n) et à la visualisation des cônes normaux de convexes fermés.

Cours du 15/10/2024 (1h30) : Rappels pour le cours d'intégration: droite réelle étendue, liminf et limsup. Définition d'une tribu. Définition d'une mesure et d'une probabilité. Premières propriétés d'une mesure. Tribu engendrée par une famille de partie.

Cours du 18/10/2024 (1h30) : Exemples de Tribus engendrées par une famille de partie (cas fini et borélien d'un espace métrique). Parties génératrices usuelles des boréliens dans R^n (dont les pavés). Exemples simples de mesures (comptage, Dirac, mesure sur un espace fini). Théorème définissant la mesure de Lebesgue (admis). Mesure image. Fonctions mesurables et boréliennes. Stabilité par composition.

Cours du 22/10/2024 (1h30): Formulation de la mesurablité en terme de parties génératrices. Conséquences: continue implique borélien, et mesurabilité coordonnée par coordonnée dans R^n. Mesurabilité des limites simples et des sup. (admis). Fonctions étagées positives et leur intégrale. Approximation des fonctions mesurables positives par des étagées.

Cours du 25/10/2024 (1h30) Définition de l'intégrale des fonctions positives et premières propriétés. Théorème de Convergence monotone. Application à l'additivité de l'intégrale des fonctions positives. Lemme de Fatou.

Cours du 05/11/2024 (1h30): Preuve du lemme de Fatou. Interversion série-intégrale (cas positif). Définition des fonctions intégrables et de leur intégrale. Propriétés de base des fonctions intégrables: stabilité par combinaison linéaire et domination, finitude presque partout. Théorème de convergence dominée. (Exo 19 du TD 5) Exemples et application à l'interversion série-intégrale.

Cours du 08/11/2024 (1h30): Intégrales dépendants d'un paramètre: Théorèmes de continuité et dérivabilité avec conditions de domination. Corollaire pour la dérivation successive (Exo 17 du TD 5). Application aux transformées de Fourier.

Cours du 12/11/2024 (1h30): Fin du chapitre 3 : Comparaison entre intégrale de Riemann et de Lebesgue. Théorème de transfert. Lemme de Doob-Dynkin (décrivant les fonctions mesurables par rapport à la tribu engendrée par f). Mesure à densité. Début du chapitre 5: Tribu et mesures produits. Cas des boréliens et des mesures de Lebesgue. Théorèmes de Fubini-Tonelli

Cours du 15/11/2024 (1h30): Exemple de calcul d'aire. Théorème de Fubini (admis). Inégalité de Jensen, Théorème de changement de variable (cas affine avec preuve) Rappels de L2: difféomorphisme et théorème d'inversion globale

Cours du 19/11/2024 (1h30): Théorème de changement de variable, Exemples de changements de variable (coordonnées polaires). Début du chapitre 6 : espace L^\infty (définition et caractère Banachique),

Cours du 22/11/2024 (1h30): Espaces L^p: définition, Inégalités de Hölder et de Minkowski . Théorème de complétude de L^p et relations entre convergence mu-p.p. et convergence L^p pour 1<= p<+\infty (implication à extraction prêt depuis la convergence L^p et avec condition de domination L^p pour l'autre sens).

Cours du 26/11/2024 (1h30): Résultats de densité des fonctions étagées et à support compact dans le cas d'un ouvert de $\R^n$ (admis). Définition d'un espace préhilbertien et inégalité de Cauchy-Schwarz (preuve renvoyée au cours d'algèbre) Identités du parallélogramme et de polarisation,

Cours du 29/11/2024 (1h30): Théorème de projection sur une convexe fermé (avec preuve), exemple du cône des éléments positifs dans L^2. Application à la projection orthogonale sur un sous-espace fermé. Définition de l'orthogonalité et identification du double orthogonal à l'adhérence.

Cours du 03/12/2024 (1h30): Théorème de représentation de Riesz. Formule pour les projections orthogonales sur un sous-espace de dimension finie. Exemple de projection sur L^2 d'une tribu engendré par un évènement. Procédé de Gram-Schmidt. Théorème des bases hibertiennes (preuve repoussée à vendredi).Théorème des bases hibertiennes (preuve repoussée à la semaine prochaine).

Cours du 6/12/2024 (1h30): Exemple de la base des séries de Fourier. Exemple de la base des polynômes d'Hermite pour la mesure gaussienne standard. Preuve en utilisant le théorème d'injectivité de la transformée de Fourier (admis). Preuve de l'inégalité de Bessel et de l'égalité de Parseval.

Evaluation

Un partiel CP de 1H30 (20%), 2 CC de 1H30 (20%) et un controle final CT de 3H (40%, décomposé en 2 fois 1h30). La moyenne est obtenue avec la règle du maximum pour le CP, MOYENNE=MAX(0.6*CT+0.2*CC1+0.2*CC2,0.4*CT+0.2*CP+0.2*CC1+0.2*CC2).

CC1

Le CC1 aura lieu le vendredi 18/10 de 11h30 à 13h.

Programme : Exos sur les TDs 1 et 2 et Questions de Cours (Programme : Définitions importantes et Grands résultats des Chapitres 1, 2 )

Définitions à réviser:

1.3 (dénombrable et au plus dénombrable), 1.4 (familles sommables, cas positif), 1.5 (familles sommables, cas général), 2.1 (distance), 2.2(norme),2.3 (distances équivalentes), 2.4 (boule ouverte, boule fermée), 2.11 (ouverts), 2.17 (fonctions continues), 2.19 (fonctions uniformément continues et lipschitziennes), 2.21 (norme subordonnée), 2.23 (compacité d'un espace métrique),

Propositions, théorèmes, corollaires à réviser:

1.3 (description concrète des ensembles au plus dénombrables), 1.4 (caractérisation surjectives des ensembles au plus dénombrables), 1.6 (ex. usuels d'ensembles infinis dénobrables), 1.8 (théorème de Cantor), 1.9 (ex. usuels d'ensembles infinis non dénobrables), 1.15 (sommation par paquet, cas positif), 1.16 (Fubini-Tonelli pour les familles sommables), 1.19 (sommation par paquet, cas général), 1.20 (Fubini-Tonelli pour les familles sommables) 2.6 (caractérisation de la complétude par série, avec les définitions de série absolument convergente) 2.8 (Thm. du point fixe de Banach), 2.10 (propriétés topologiques des ouverts), 2.11 (ouverts pour la métrique induite), 2.12 (caractérisation de l'intérieur), 2.14 (propriétés topologiques des fermés), 2.15 (caractérisation séquentielle des fermés), 2.20 (caractérisation séquentielle de l'adhérence), 2.21 (caractérisation séquentielle de la continuité), 2.22 (caractérisation topologique de la continuité), 2.24 (Prolongement des identités), 2.27 (Prolongement des applications uniformément continue) 2.28 (Complétude des espaces de fonctions continues) 2.33-2.34-2.35 (propriétés particulières en dimensions finie) 2.41 (image directe des compacts), 2.42 (Théorème de Weierstrass), 2.44 (les compacts de \R^n), 2.45 (Théorème de Heine) Voici le Sujet (et sa correction)

CC2

Le CC2 aura lieu le 8 novembre 2024 de 11h30 à 13H.

Programme : Exos (dans R^n) sur les TDs 3 et 4 et Questions de Cours (Programme : Définitions importantes et Grands résultats des Chapitres 3 et chapitres 4: 4.1 à 4.3 )

Définitions à réviser: 3.1 (ensemble convexe), 3.2 (le cône tangent et le cône normal),3.3 (fonction convexe), 4.1(limsup et liminf), 4.2(tribu), 4.3 (mesure), 4.4 (ensemble négligeable), 4.6 (tribu borélienne), 4.12 (intégrale d'une fonction positive)

Propositions, théorèmes, corollaires à réviser: 3.6 (Théorème décrivant les cônes normaux de convexes définis par contraintes), 3.8 (inégalité des pentes), 3.9 (dérivabilité des fonctions convexes sur \R), 3.12 (caractérisation différentielle des fonctions convexes), 3.14 (théorème de minimisation sous contrainte convexe) 3.15 (théorème de projection sur un convexe fermé de R^n), 4.3 (propriétés usuelles des mesures), 4.6 et 4.7 (systèmes générateurs usuels des boréliens de R^n), 4.9 (Théorème définissant la mesure de Lebesgue) 4.11(Composition des fonctions mesurables) 4.18 (Stabilités des fonctions mesurables par limites). 4.21 (Approximation des fonctions mesurables positives) 4.23 (Théorème de convergence monotone), 4.26 (Interversion série-intégrale dans le cas positif) 4.27 (lemme de Fatou). Voici le Sujet (et sa correction)

CC de seconde chance pour CC1 et CC2

Nouveau: les CC1 et CC2 feront l'objet d'un rattrapage de note CCR le 13/12 de 15h45 à 17h15. Ce CCR est OBLIGATOIRE si vous êtes absent à un CC OU SI votre moyenne des CC est inférieure à 10. La note de CC=(0.5*CC1+0.5*CC2) est alors remplacé par CCSecondeChance= MAX(CCR, O.5*CCR+ 0.5*MAX(CC1,CC2)). Elle peut donc être plus basse que la moyenne CC. En cas de passage du CCR, la moyenne est alors : MOYENNE=MAX(0.6*CT+0.4*CCSecondeChance,0.4*CT+0.2*CP+0.4*CCSecondeChance). Comme indiqué sur le nouveau CADRAGE p 12 (1ère ligne), l'absence à ce CCR (jusitifée ou non) si on doit y assister, vaut Défaillance à l'UE. Il n'est pas possible de passer le CCR si vous avez plus de 10 à la moyenne CC.

CP

Le CP aura lieu le 22 novembre 2024 de 11h30 à 13H.

Programme : Exos sur les TDs 1 à 5 (surtout TD 3 et TD 5) et Questions de Cours (Programme : Définitions importantes et Grands résultats du chapitre 4 )

Définitions à réviser: 4.1(limsup et liminf), 4.2(tribu), 4.3 (mesure), 4.4 (ensemble négligeable), 4.6 (tribu borélienne), 4.12 (intégrale d'une fonction positive) , 4.13 (fonction intégrable)

Propositions, théorèmes, corollaires à réviser: 4.3 (propriétés usuelles des mesures), 4.6 et 4.7 (systèmes générateurs usuels des boréliens de R^n), 4.9 (Théorème définissant la mesure de Lebesgue) 4.11(Composition des fonctions mesurables) 4.18 (Stabilités des fonctions mesurables par limites). 4.21 (Approximation des fonctions mesurables positives) 4.23 (Théorème de convergence monotone), 4.26 (Interversion série-intégrale dans le cas positif) 4.27 (lemme de Fatou). 4.29 (propriétés de bases de l'intégrale des fonctions intégralbes), 4.30 (Théorème de convergence dominée), 4.31 (Interversion série-intégrale dans le cas intégrable), 4.32 ( Théorème de transfert) 4.34 (Comparaison à l'intégrale de Riemann) 4.35 (Mesures à densités), 4.38 (Théorème de continuité avec condition de domination) 4.40 (Théorème de dérivation successive) Voici le Sujet (et sa correction)

Examen

L'examen aura lieu en mercredi 8 janvier (de 8h à 11h45).

Programme : Exos sur tous les TDs et Questions de Cours (Programme : Définitions importantes et Grands résultats des Chapitres 5, 6 et 7)

Programme des Questions de Cours pour l'examen

Définitions à réviser :

5.1 Tribu produit 6.1 fonction essentiellement bornés, 6.2 espace L^p (pour p\in[1,\infty[), 7.1 et 7.2 (espace préhilbertien et de Hilbert) 7.3 (orthogonal d'un sous-espace) 7.4 Bases hilbertiennes.

Propositions, théorèmes, corollaires à réviser:

Théorème de Fubini-Tonelli (Thm 5.3), Théorème de Fubini (Thm 5.4), Inégalité de Jensen (Thm 5.5), Théorème de changement de variable (Thm 5.11), Inégalité de Hölder (Prop 6.3 et Lemme 6.4) Inégalité de Minkowski (Thm 6.5) Thm de convergence dominée L^p (Thm 6.6), Thm de Riesz-Fischer (Thm 6.7) Thm sur relation entre convergence L ^p et presque partout (Thm 6.8) Thm de densité usuelle dans L^p (Thm 6.12) Thm donnant des exemples d'espaces de Hilbert (Thm 7.2). Thm de projection sur un convexe fermé (Thm 7.3). Thm de projection sur un sous-espace fermé (Thm 7.4). Thm sur les décompositions orthogonales (Prop 7.5). Thm de représentation de Riesz (Thm 7.6) Théorème des bases (Thm 7.9, qui peut être demandé en trois parties: inégalité de Bessel, égalité de Parseval, existence de base hilbertienne), Thm d'approximation de Weierstrass (Thm 7.10), Thm sur la transformée de Fourier (Thm 7.12)