Travaux de recherche
Mémoires, thèses
Mémoire de DEA :
Sur la régularité de la solution de l'équation de Monge-Ampère, juin 1988
Thèse de Doctorat de Mathématiques :
Étude des trajectoires de la primitive du mouvement brownien
Soutenue le 19 mars 1992 à l'Université Lyon-I.
Composition du jury : J. Brossard (Rapporteur), A. Goldman, J.-F. Le Gall (Rapporteur), E. Pardoux.
Résumé
Thèse
Dans ce travail nous rassemblons l'essentiel des résultats que nous avons
obtenus sur le comportement de l'intégrale du mouvement brownien linéaire,
et plus particulièrement sur les différentes distributions associées aux
premiers instants de passage des trajectoires par des seuils fixés.
Ainsi nous avons pu déterminer explicitement la loi conjointe du couple
constitué du premier instant de passage du processus «primitive»
par un point fixé et de la position occupée par le mouvement brownien
à cet instant. On retrouve en particulier les lois marginales de ce couple
découvertes par M. Goldman (1971) et Ju. P. Gor'kov (1975), ainsi que la loi
du premier instant de retour à l'origine obtenue par H.P. McKean (1963).
Ce résultat nous a permis de débloquer plusieurs problèmes ouverts.
Nous obtenons ainsi les distributions de plusieurs fonctionnelles associées
à l'intégrale du mouvement brownien : temps de passage successifs, dernier
instant de passage, temps de séjour, excursions...
Nous étudions ensuite la position de la primitive du mouvement brownien
lorsque ce dernier atteint une barrière simple ou bilatère. Ce type de
fonctionnelle apparaît naturellement dans certains problèmes
d'optimisation étudiés par M. Lefèbvre (1989). une nouvelle approche
nous a permis de retrouver et d'améliorer ses résultats.
Nous explicitons finalement la distribution de certaines fonctionnelles
relatives à l'intégrale du mouvement brownien lorsque cette dernière
est soumise à une dérive parabolique ou cubique. On retrouve en particulier
un résultat de P. Groeneboom (1989) concernant le mouvement brownien avec
dérive parabolique.
Une description de quelques problèmes restant encore ouverts termine ce travail.
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Table des matières
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- Introduction
- Chapitre I : Équation de Langevin
- Introduction
- Description de l'expérience physique
- Une solution de l'équation de Langevin : un processus gaussien stationnaire \((x_t)_{t\geqslant 0}\)
- Le nombre de zéros de \((x_t)_{t\geqslant 0}\)
- Chapitre II : Étude d'un cas particulier : l'intégrale du mouvement brownien
- Introduction
- La loi conjointe du couple \((\tau_a,B_{\tau_a})\) sous la probabilité \(\mathbb{P}_{(a,y)}\)
- Les lois des variables aléatoires \(\tau_a\) et \(B_{\tau_a}\) sous la probabilité \(\mathbb{P}_{(a,y)}\)
- La loi conjointe du couple \((\tau_a,B_{\tau_a})\) sous la probabilité \(\mathbb{P}_{(x,y)}\)
- Sur l'intégrale du mouvement brownien
- Sur le premier instant de passage de l'intégrale du mouvement brownien
- Sur les temps de passages successifs de l'intégrale du mouvement brownien
- Dernier instant de passage pour l'intégrale du mouvement brownien
- Sur les excursions de l'intégrale du mouvement brownien
- Les excursions de l'intégrale du mouvement brownien
- Les moments du temps de séjour de l'intégrale du mouvement brownien
- Les lois conjointes des couples \((\sigma_b,X_{\sigma_b})\) et \((\sigma_{ab},X_{\sigma_{ab}})\) sous la probabilité \(\mathbb{P}_{(x,y)}\)
- Un problème d'optimisation
- Extensions diverses
- À propos de l'intégrale du mouvement brownien
- Sur la distribution de certaines fonctionnelles de l'intégrale du mouvement
brownien avec dérives parabolique ou cubique
- Chapitre III : Problèmes ouverts
- Premier instant d'atteinte d'une barrière bilatère \(\{a,b\}\) pour le processus \((X_t)_{t\geqslant 0}\)
- Premier instant de sortie d'un quadrant pour le processus \((X_t,B_t)_{t\geqslant 0}\)
- Temps de séjour du processus \((X_t)_{t\geqslant 0}\)
- Primitives itérées du mouvement brownien
- L'opérateur différentiel \(d^4/dx^4\)
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Publications issues de la thèse (par ordre d'apparition) :
- Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. 311 (1990), 461-464.
- Annales de l'Institut Henri Poincaré Section B 27(3) (1991), 385-405.
- Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. 321 (1995), 903-908.
- Stochastic Processes and their Applications 49 (1994), 57-64.
- Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. 314 (1992), 1053-1056.
- Journal of Applied Probability 30 (1993), 17-27.
- Communications on Pure and Applied Mathematics XLIX (1996), 1299-1338.
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Eugène Boudin (1824-1898) – Rivage de Portrieux, 1874
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Thèse d'habilitation à diriger des recherches :
Études probabiliste et analytique d'une classe de fonctionnelles
rattachées à la primitive du mouvement brownien
Soutenue le 3 juillet 1995 à l'Université Lyon-I.
Composition du jury : J. Brossard, A. Goldman, J.-P. Imhof,
J.-F. Le Gall, P. McGill (Rapporteur), E. Pardoux, B. Roynette (Rapporteur), M. Yor (Rapporteur).
Résumé
Thèse
L'ensemble de nos travaux est essentiellement consacré à l'étude de la
primitive du mouvement brownien; plus particulièrement il est orienté vers la
détermination explicite des distributions de probabilité de diverses fonctionnelles
associées à ce processus. Les motivations et le contexte historique de cette étude,
qui débute principalement avec les travaux de P. Langevin, H.P. McKean et M. Kac
sont décrits en détail dans le chapitre d'introduction de notre thèse de Doctorat.
Le point de départ de notre étude fut la détermination explicite de la loi du
premier instant de passage \(\tau_a\) de l'intégrale du mouvement brownien
\((X_t)_{t\ge0}\) par un seuil fixé \(a\), couplé avec la position
du mouvement brownien \((B_t)_{t\ge0}\) à cet instant, lorsque le processus markovien
bidimensionnel \((X_t,B_t)_{t\ge0}\) démarre d'un point quelconque
\((x,y)\in\mathbb{R}^2\). Ce résultat qui résolvait un problème
ouvert posé dans l'article A winding problem for a resonator driven by a white noise,
datant de 1963, de H.P. McKean a permis de débloquer de nombreuses questions et a joué
un rôle déterminant dans la suite de notre recherche.
Pour citer un exemple significatif, la connaissance de la distribution conjointe du couple
\((\tau_a,B_{\tau_a})\) nous a conduit à celle du dernier temps \(\tau_{a,T}^-\)
d'atteinte du point \(a\) par le processus \((X_t)_{t\ge0}\), avant un instant fixé
\(T\). Dès lors, l'écriture explicite de cette
dernière loi permet d'en décrire le comportement asymptotique lorsque \(T\) tend vers
zéro. Cette estimation a été, en particulier, exploitée par S. Aspandiiarov et
J.-F. Le Gall au cours d'un travail en liaison avec l'étude de l'équation de Burgers.
Par ailleurs, nous avons engagé une étude approfondie de diverses excursions du
processus \((X_t,B_t)_{t\ge0}\), ayant toujours pour objectif la détermination
exacte et explicite de la loi de certaines fonctionnelles. En faisant appel à la théorie
générale des excursions d'un processus de Markov, nous avons pu exhiber par
exemple la loi du quadruplet \((\tau_{a,T}^-,B_{\tau_{a,T}^-},\tau_{a,T}^+,B_{\tau_{a,T}^+})\)
constitué des dernier et premier temps de passage par le seuil \(a\) respectivement postérieur
et antérieur à l'instant déterministe \(T\), et des positions relatives du
mouvement brownien. Nous en avions auparavant obtenu par une technique markovienne seulement
quelques lois marginales. Une recherche portant sur l'aire d'une boucle d'excursion associée au
processus \((X_t,B_t)_{t\ge0}\) nous a ensuite confrontés à la primitive du
processus d'Ornstein-Uhlenbeck, dont nous avons également explicité quelques
distributions afférentes.
Plus généralement, les excursions de l'intégrale du mouvement brownien hors
d'un point \(a\) (sans restriction temporelle à présent) font apparaître la suite
des temps de visite successifs \((\mathbf{t}_n)_{n\ge 1}\) du point \(a\) par le processus
\((X_t)_{t\ge0}\). Cette suite présente un comportement très différent de celui
qui caractérise les excursions browniennes, cas pour lequel une telle suite ne peut être
définie en vertu de l'irrégularité des trajectoires browniennes. En faisant appel
à la transformation de Kontorovich-Lebedev nous avons pu obtenir pour la loi conjointe
du couple \((\mathbf{t}_n,B_{\mathbf{t}_n})_{n\ge 1}\) une formule
simple ne requérant pas l'usage des intégrales multiples.
Divers problèmes demeurent actuellement non résolus. Notamment: la loi de
probabilité du premier instant de sortie d'un intervalle borné \([a,b]\) de \(\mathbb{R}\)
par la primitive du mouvement brownien reste inconnue;
la distribution du temps séjourné dans \([a,b]\) par
\((X_t)_{t\ge0}\) n'est toujours pas explicitée.
D'autres questions, de nature géométrique, se posent également : les trajectoires
du processus bidimensionnel \((X_t,B_t)_{t\ge0}\) comportent-elles des points multiples ? est-il
possible de caractériser les ensembles polaires pour ce processus ?
Quelle est l'exacte mesure de Hausdorff de la courbe \(t\mapsto(X_t,B_t)\) ?
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Table des matières
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- Introduction
- Sur l'intégrale du mouvement brownien
Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. 311 (1990), 461-464.
- Sur le premier instant de passage de l'intégrale du mouvement brownien
Annales de l'Institut Henri Poincaré Section B 27(3) (1991), 385-405.
- L'intégrale du mouvement brownien
Journal of Applied Probability 30 (1993), 17-27.
- Dernier instant de passage pour l'intégrale du mouvement brownien
Stochastic Processes and their Applications 49 (1994), 57-64.
- Sur les excursions de l'intégrale du mouvement brownien
Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. 314 (1992), 1053-1056.
- Quelques applications de la théorie des excursions à l'intégrale du mouvement brownien
Séminaire de Probabilités XXXVIII, Lecture Notes in Mathematics 1801 (2003), 109-195.
- Sur les temps de passages successifs de l'intégrale du mouvement brownien
Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, t. 321 (1995), 903-908.
- Les temps de passages successifs de l'intégrale du mouvement brownien
Annales de l'Institut Henri Poincaré Section B 33(1) (1997), 1-36.
- Some martingales related to the integral of Brownian motion. Application to
passage times and transience
Stochastics and Stochastics Reports 58 (1996), 285-302.
- Sur la distribution de certaines fonctionnelles de l'intégrale du mouvement
brownien avec dérives parabolique ou cubique
Communications on Pure and Applied Mathematics XLIX (1996), 1299-1338.
- Quelques martingales associées à l'intégrale du processus
d'Ornstein-Uhlenbeck. Application à l'étude des premiers instants de passage
Journal of Theoretical Probability 11(1) (1998), 127-156.
- Annexe: récapitulatif
- Bibliographie
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Claude Monet (1840-1926) – Débâcle sur la Seine : les glaçons, 1880
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Publications
Note: certains articles sont disponibles sur
arXiv.org et
HAL archives-ouvertes.fr
Articles publiés dans des revues internationales avec comité de lecture
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Sur le premier instant de passage de l'intégrale du mouvement brownien
Annales de l'I. H. P. Sect. B 27(3) (1991), 385-405.
Référence MathSciNet : MR1131839 (92m:60073)
Résumé
Article
This paper concerns a famous problem of Kac, Rice and Potter on the windings
of Brownian motion in the phase plane. One looks to compute explicitly the joint
law of the hitting time and hitting distribution for the process \((x+ty+
\int_0^t B_s\,ds, B_t+y\)) on vertical lines \(\{a\}\times \mathbb{R}.\)
The problem can be reduced to solving a PDE with boundary
conditions, which is solved here by taking a Kantorovich-Lebedev transform;
McKean looked at this in the case \(x=a\). The analogue for (one or two)
horizontal lines is easier; joint laws can be computed by using the Feynman-Kac
formula.
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Pierre-Auguste Renoir (1841-1919) – Le Déjeuner des canotiers, 1880-1881
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L'intégrale du mouvement brownien
Journal of Applied Probability 30 (1993), 17-27.
Référence MathSciNet : MR1206349 (94a:60120)
DOI:10.2307/3214618
Résumé
Article
Let \((B_t)_{t\ge 0}\) denote the Brownian motion process starting at the
origin, let \(X_t=\int^t_0B_sds\) be its primitive and let \(U_t=(X_t+x+ty,B_t+y)\),
\(t\ge0\), be the associated bidimensional process starting from
a point \((x,y)\in \mathbb{R}^2\). In this paper
we present an elementary procedure for rederiving the formula of M. Lefebvre
[SIAM J. Appl. Math. 49 (1989), no. 5, 1514-1523] giving the Laplace-Fourier transform of the
distribution of the pair \((\sigma_a,U_{\sigma_a})\), as well as
Lachal's formulae (1991) giving the explicit Laplace-Fourier transform of the law of the couple
\((\sigma_{ab},U_{\sigma_{ab}})\), where \(\sigma_a\) and \(\sigma_{ab}\) denote,
respectively, the first
hitting time of \(\mathbb{R}\times \{a\}\) from the right and the first hitting
time of the double-sided
barrier \(\mathbb{R}\times \{a,b\}\) by the process \((U_t)_{t\ge 0}\).
This method, which unifies
and considerably simplifies the proofs of these results, is in fact a
`vectorial' extension of the
classical technique of D. A. Darling and A. J. F. Siegert [Ann. Math. Statist. 24 (1953), 624-639].
It rests on an essential observation [A. Lachal, «Étude des trajectoires de la
primitive du mouvement brownien», Thèse de Doctorat, 1992; per bibl.] of the
Markovian character of the bidimensional process \((U_t)_{t\ge 0}\). Using the same
procedure, we subsequently determine the Laplace-Fourier transform of the conjoint law
of the quadruplet \((\sigma_a,U_{\sigma_a},\sigma_b,U_{\sigma_b})\).
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Edouard Manet (1832-1883) – Monet dans son bateau atelier, 1874
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Dernier instant de passage pour l'intégrale du mouvement brownien
Stochastic Processes and their Applications 49 (1994), 57-64.
Référence MathSciNet : MR1258281 (95a:60109)
DOI:10.1016/0304-4149(94)90111-2
Résumé
Article
Let \((B_t)_{t\ge 0}\) be the standard Brownian motion.
Fix \(T > 0\) and look at the excursion of the process \(X_t=x+\int_0^t B_s\,ds\),
\(t\ge0\), from \(a\) which straddles \(T\). The paper shows how to compute the joint law
of the excursion interval and the terminal value of \(B\). In fact, since the
semigroup of \(((X_t, B_t))_{t\ge 0}\) is known from the work of McKean,
the problem reduces to calculating the law of \((B_t)_{t\ge 0}\)
when \((X_t)_{t\ge0}\) hits \(a\). But this the author already knows.
The answers are explicit and yield a simple form for the law of the excursion interval
spanning \(T\) in terms of the Bessel function \(K_0\).
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Alfred Sisley (1839-1899) – Inondation à Port Marly, 1876
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Sur la distribution de certaines fonctionnelles de l'intégrale du
mouvement brownien avec dérives parabolique et cubique
Communications on Pure and Applied Mathematics XLIX (1996), 1299-1338.
Référence MathSciNet : MR1414588 (97j:60150)
DOI:10.1002/(SICI)1097-0312(199612)49:12<1299::AID-CPA4>3.0.CO;2-5
Résumé
Soit \((B_t)_{t\geq 0}\) le mouvement brownien linéaire démarrant de
l'origine, \(X_t = \int_0^t B_u \, du\). On considère le
processus \(U^{z,w}_t = (X_t + \frac{1}{2} t^2 z + \frac{1}{6} t^3 w,
B_t + tz + \frac{1}{2} t^2 w), t \geq s\) (\(s>0\) fixé), constitué du mouvement
brownien auquel se superpose une dérive parabolique \(tz + \frac{1}{2} t^2 w\), et de sa
primitive soumise à la dérive cubique correspondante \(\frac{1}{2} t^2 z +
\frac{1}{6} t^3 w\). Dans cet article nous déterminons les distributions de diverses
fonctionnelles (premiers instants d'atteinte, derniers instants de sortie,
maxima) associées au processus \((U^{z,w}_t)_{t \geq s}\).
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Vincent Van Gogh (1853-1890) – L'Église d'Auvers-sur-Oise, 1890
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Quelques martingales associées à l'intégrale du
processus d'Ornstein-Uhlenbeck. Application à l'étude des premiers instants d'atteinte
Stochastics and Stochastics Reports 58 (1996), 285-302.
Référence MathSciNet : MR1424696 (98e:60059)
DOI:10.1080/17442509608834078
Résumé
Soit \((O_t)_{t \geq 0}\) le processus d'Ornstein-Uhlenbeck de paramètre
\(\beta\), démarrant de \(y\) et \(X_t =\int_0^ t O_s \,ds + x\).
Dans cet article, après avoir construit diverses martingales associées au
processus bidimensionnel \((X_t,O_t)_{t \geq 0}\) , nous explicitons les
transformées de Laplace-Fourier des couples \((\sigma_a, X_{\sigma_a}),
(\sigma_{ab},X_{\sigma_{ab}} )\) et du
quadruplet \((\sigma_a, X_{\sigma_a},\sigma_b, X_{\sigma_b})\)
où \(\sigma_a=\inf\{t > 0 \colon O_t= a\}\) et \(\sigma_{ab}=
\inf \{t > 0 \colon O_t\in \{a,b\}\}\). Nous étendons ensuite
les résultats obtenus au cas d'un processus d'Ornstein-Uhlenbeck soumis à
une dérive «hyperbolique» de la forme \(z {\sinh \beta t \over\beta} +
w{\cosh \beta t-1\over\beta^ 2}\).
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Joseph Mallord William Turner (1775-1851) – Pluie, vapeur et vitesse - Le grand chemin de fer de l'Ouest, 1844
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Les temps de passages successifs de l'intégrale du mouvement brownien
Annales de l'I. H. P. Sect. B 33(1) (1997), 1-36.
Référence MathSciNet : MR1440254 (98g:60148)
DOI:10.1016/S0246-0203(97)80114-8
Résumé
Article
Soit \((B_t)_{t \geq 0}\) un mouvement brownien linéaire et
\(X_t=x +\int_0^ t B_s \,ds\). Dans ce travail nous explicitons
la distribution de plusieurs fonctionnelles du processus bidimensionnel
\((X_t, B_t)_{t \geq 0}\) intimement liées au premier instant
de passage de celui-ci.
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Jean-Baptiste Olive (1848-1936) – Le vieux port - Marseille
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Regular points for the successive primitives of Brownian motion
Journal of Mathematics of Kyoto University 37(1) (1997), 99-119.
Référence MathSciNet : MR1447364 (98g:60149)
DOI:10.1215/kjm/1250518399
Résumé
Article
Let \((B(t))_{t\geq 0}\) be the linear Brownian motion starting at \(0\), and
set \(X_n(t) = {1\over n!}\int_0^ t (t-s)^ n\, dB(s)\). In this paper
we write out a Wiener's test about regular points for the
\((n+1)\)-dimensional process \((B,X_1,\ldots ,X_n)\), and we next apply
this test to two examples of thornshaped sets.
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Pierre-Auguste Renoir (1841-1919) – Bal du moulin de la Galette, 1876
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Local asymptotic classes for the successive primitives of Brownian motion
Annals of Probability 25(4) (1997), 1712-1734.
Référence MathSciNet : MR1487433 (98j:60112)
DOI:10.1214/aop/1023481108
Résumé
Article
Let \((B(t))_{t\geq 0}\) be the linear Brownian motion starting at \(0\), and
set \(X_n(t) ={1\over n!}\int_0^ t (t-s)^ n\, dB(s)\). H. Watanabe
[Trans. Amer. Math. Soc., 148 (1970), pp. 233-248] stated a
law of the iterated logarithm for the process \((X_1(t))_{t\geq 0}\) among
other things. In this paper is proposed an elementary proof of this fact,
which can be extended to the general case \(n\geq 1\). Next, we study the local
asymptotic classes (upper and lower) of the \((n+1)\)-dimensional process
\(U_n=(B,X_1,\ldots ,X_n)\) near zero and infinity, and the obtained
results are extended to the case where \(B\) is the \(d\)-dimensional Brownian motion.
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Berthe Morisot (1841-1895) – Port de Lorient, 1869
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Some martingales related to the integral of Brownian motion.
Application to the passage times and transience
Journal of Theoretical Probability 11(1) (1998), 127-156.
Référence MathSciNet : MR1607384 (99f:60146)
DOI:10.1023/A:1021646925303
Résumé
Let \((B_t)_{t\geq 0}\) be the standard linear Brownian motion
started at \(y\) and set \(X_t=x+\int_0^ t B_s\,ds\), \(U_t=(X_t,B_t)\). In this paper
we introduce some martingales related to the Markov process \((U_t)_{t\geq 0}\),
which allow us to calculate explicitly the probability laws of several passage
times associated to \(U\) in a probabilistic way. With the aid of an appropriate
supermartingale, we also establish the transience of the process \((U_t)_{t\geq 0}\).
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Balthasar van der Ast (1593-1657) – Nature morte aux fruits, 1620
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First exit time from a bounded interval for a certain class of
additive functionals of Brownian motion
Journal of Theoretical Probability 13(3) (2000), 733-775.
Référence MathSciNet : MR1785528 (2001i:60126)
DOI:10.1023/A:1007810528683
Résumé
Let \((B_t)_{t\ge 0}\) be standard Brownian motion starting at \(y\), \(X_t =
x+\int_0^t V(B_s) \, ds\), \(x\in (a,b)\), with \(V(y)= y^{\gamma}\) if \(y\ge 0\),
\(V(y)= -K(-y)^{\gamma}\) if \(y\le 0\), where \(\gamma >0\) and \(K\) is a given
positive constant. Set \(\tau_{ab} = \inf \{ t>0 : X_t \notin (a,b) \}\) and \(\sigma_0 =
\inf\{ t>0 : B_t = 0\}\).
In this paper we give several informations about
the random variable \(\tau_{ab}\). We namely evaluate the moments of the
random variables \(B_{\tau_{ab}}\) and \(B_{\tau_{ab}\wedge \sigma_0}\),
and also show how to calculate the expectations
\(\mathbb{E} (\tau_{ab}^m B_{\tau_{ab}}^n)\) and
\(\mathbb{E} ((\tau_{ab}\wedge\sigma_0)^m B_{\tau_{ab}\wedge\sigma_0}^n)\).
Then, we explicitly determine the probability laws of the random variables
\(B_{\tau_{ab}}\) and \(B_{\tau_{ab}\wedge \sigma_0}\)
as well as the probability \(\mathbb{P}\{ X_{\tau_{ab}}=a \mbox{ (or \(b\))}\}\)
by means of special functions.
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Johan Barthold Jongkind (1819-1891) – Le bassin du port : entrepôt de Bruxelles, 1874
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Study of some new integrated statistics: computation of Bahadur efficiency,
relation with non-standard boundary value problems
Mathematical Methods of Statistics 10(1) (2001), 73-104.
Référence MathSciNet : MR1841809 (2002j:62066)
Résumé
Let \(p\) be a positive integer. This paper deals with \(p\)-fold integrated
empirical process the limiting process of which being the \(p\)-fold
integrated Brownian bridge, together with
some related Kolmogorov-Smirnov, Cramér-von Mises and Watson-type statistics.
The Bahadur theory is applied to those statistics in case of shift alternatives
and comparisons with classical non-integrated case (\(p=0\)) are made. Several
boundary value problems arise in this study and are
stated on the one hand in the context of relationships between
covariance and Green functions, and on the other hand in the context of
optimality for the Bahadur-Raghavachari inequality.
The results that are displayed here extend certain of Henze and Nikitin [1,2]
who considered the case \(p=1\) and others of the author.
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[1] Henze, N. and Nikitin, Ya. Yu. A new approach to goodness-of-fit
tests based on the integrated empirical process, J. Nonpar. Statist. 12 (2000), 391-416.
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[2] Henze, N. and Nikitin, Ya. Yu. Watson-type goodness-of-fit
tests based on the integrated empirical process, preprint of University of
Karlsruhe, 1999.
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Paul Cézanne (1839-1906) – Nature morte - Compotier, 1879-1882
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Bridges of certain Wiener integrals. Prediction properties, relation with polynomial interpolation
and differential equations. Application to goodness-of-fit testing
in Bolyai Society Mathematical Studies X. Limit Theorems, Balatonlelle (Hungary), 1999.
Budapest, 2002, 1-51.
Référence MathSciNet : MR1979998 (2004e:60140)
Résumé
Let \((W(t))_{t\ge 0}\) and \((\beta(t))_{t\ge 0}\) be respectively standard Wiener
process started at 0 and standard Brownian bridge, and denote by
\(W_n(t)=\frac{1}{n!} \int_0^t (t-s)^n\, dW(s)\)
and \(\beta_n(t)=\frac{1}{n!} \int_0^t (t-s)^n\, d\beta(s)\)
their \(n\)-fold primitives. This paper deals with the conditioned process
\(B_n = (W_n(t)| W_0(1)=\ldots = W_n(1)=0)_{0\le t\le 1}\) which shall be
called `bridge' associated with \(W_n\). Many properties are drawn for this
process. We give several representations by means of time-inversion, random
drift and conditioning \(\beta_n\). The prediction problem for \(B_n\) is solved,
involving some interpolation poynomials; this may provide a probabilistic
interpretation for those poynomials. We also found a connexion between the
covariance functions for \(B_n\) and \(\beta_n\) and the Green functions for various
boundary value problems on
the interval [0,1] related to the differential operator \(d^{2n+2}/dx^{2n+2}\).
On the other hand, some formulas are derived for the probability distributions
of the maximum for the random variables \(B_n\), \(|B_n|\), \(\beta_n\), \(|\beta_n|\).
Next we propose some statistics of the type of empirical distributions whose limiting
processes are \(B_n\) and \(\beta_n\). Finally, we elaborate several
Kolmogorov-Smirnov-like tests of goodness-of-fit.
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Paul Cézanne (1839-1906) – Jas de Bouffan, le bassin, 1876
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Masquer le résumé
Some probability distributions in modeling DNA replication
Annals of Applied Probability 13(3) (2003), 1207-1230.
Référence MathSciNet : MR1994049 (2004k:60239)
DOI:10.1214/aoap/1060202839
Résumé
Article
By using some quasi-renewal equations and functional differential equations,
we explicitly compute the Laplace transforms of some random variables introduced by
Cowan and Chiu in modeling the mechanism of replication of a DNA molecule,
[1] and [2]. These Laplace transforms are expressed by means of infinite product arising in
the theory of partitions.
-
[1] R. Cowan. Stochastic models for DNA replication,
in The Handbook of Statistics, Vol. 20, eds. C.R. Rao and D.N. Shanbhag, Elsevier, 2001.
-
[2] R. Cowan and S.N. Chiu. Stochastic model of fragment formation
when DNA replicates, Journal of Applied Probability 31 (1994), 301-308.
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Vincent Van Gogh (1853-1890) – Champ de blé avec cyprès, 1889
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Masquer le résumé
Applications de la théorie des excursions à l'intégrale du mouvement brownien
Séminaire de Probabilités XXXVIII,
Lecture Notes in Mathematics 1801 (2003), 109-195.
Référence MathSciNet : MR2053045 (2005g:60128)
DOI:10.1007/b94376
Résumé
Soit \((B_t)_{t\ge 0}\) le mouvement brownien linéaire démarrant
de \(y\) et posons \(X_t=x+\int_0^t B_s ds\) et \(U_t=(X_t, B_t)\).
Introduisons les différents temps de passage enjambant un instant fixé \(T>0\) suivants :
-
\(\tau_{a,T}^- = \sup\{t\le T: X_t=a\}\),
-
\(\tau_{a,T}^+ = \inf\{t\ge T: X_t=a\}\),
-
\(\sigma_{b,T}^- = \sup\{t\le T: B_t=b\}\),
-
\(\sigma_{b,T}^+ = \inf\{t\ge T: B_t=b\}\),
-
\(\sigma_{ab,T}^- = \sup\{t\le T: B_t\in\{a,b\}\}\),
-
\(\sigma_{ab,T}^+ = \inf\{t\ge T: B_t\in\{a,b\}\}\).
Dans ce travail constitué de trois parties, nous explicitons, en faisant appel à la
théorie générale des excursions, les lois des divers processus d'excursion
enjambant \(T\) associés à \((U_t)_{t\ge 0}\) et aux temps de passage
précédents, puis en déduisons les distributions des vecteurs aléatoires
-
\((\tau_{a,T}^-,B_{\tau_{a,T}^-},\tau_{a,T}^+,B_{\tau_{a,T}^+})\),
-
\((\sigma_{b,T}^-,X_{\sigma_{b,T}^-},\sigma_{b,T}^+,X_{\sigma_{b,T}^+})\),
-
\((\sigma_{ab,T}^-,X_{\sigma_{ab,T}^-},\sigma_{ab,T}^+,X_{\sigma_{ab,T}^+})\),
ainsi que celles d'autres fonctionnelles s'y rapportant.
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Johan Barthold Jongkind (1819-1891) – L'église de Overschie, 1866
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Masquer le résumé
Distributions of sojourn time, maximum and minimum for pseudo-processes
governed by higher-order heat-type equations
Electronic Journal of Probability 8 (2003), paper no. 20, 1-53.
Référence MathSciNet : MR2041821 (2005j:60082)
DOI:10.1214/EJP.v8-178
Résumé
Article
The higher-order heat-type equation
\(\partial u/\partial t=\pm\partial^{n} u/ \partial x^{n}\)
has been investigated by many authors. With this equation is associated
a pseudo-process \((X_t)_{t\ge 0}\) which is governed by a signed measure.
In the even-order case, Krylov, [2], proved that the classical
arc-sine law of Paul Lévy for standard
Brownian motion holds for the pseudo-process \((X_t)_{t\ge 0}\), that is,
if \(T_t\) is the sojourn time of \((X_t)_{t\ge 0}\) in the half line
\((0,+\infty)\), then \(\mathbb{P}(T_t\in\,ds)=\frac{ds}{\pi\sqrt{s(t-s)}}\).
Orsingher, [4], and next Hochberg and Orsingher, [1], obtained a counterpart
to that law in the odd cases \(n=3,5,7.\) Actually Hochberg and Orsingher, [1],
proposed a more or less explicit expression for that new law in the
odd-order general case and conjectured a quite simple formula for it.
The distribution of \(T_t\) subject to some conditioning has also been
studied by Nikitin and Orsingher, [3], in the cases \(n=3,4.\)
In this paper, we prove that the conjecture of Hochberg and Orsingher, [1],
is true and we extend the
results of Nikitin and Orsingher for any integer \(n\). We also investigate the
distributions of maximal and minimal functionals of \((X_t)_{t\ge 0}\).
-
[1] Hochberg, K.J. and Orsingher, E.
The arc-sine law and its analogs for processes governed by signed
and complex measures. Stochastic Process. Appl. 52 (1994), no. 2, 273-292.
-
[2] Krylov, V. Yu.
Some properties of the distribution corresponding to the equation
\(\frac{\partial u}{\partial t}=(-1)^{q+1}
\frac{\partial^{2q} u}{\partial^{2q} x}\). Soviet Math. Dokl. 1 (1960), 760-763.
-
[3] Nikitin, Ya. Yu. and Orsingher, E.
On sojourn distributions of processes related to some higher-order
heat-type equations. J. Theoret. Probab. 13 (2000), no.4, 997-1012.
-
[4] Orsingher, E.
Processes governed by signed measures connected with third-order `heat-type'
equations. Lithuanian Math. J. 31 (1991), no. 2, 220-231.
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Alfred Sisley (1839-1899) – L'automne : bords de la Seine près de Bougival, 1873
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Masquer le résumé
Probabilistic approach to Page's formula for the entropy of a quantum subsystem
Stochastics 78(3) (2006), 157-178.
Référence MathSciNet : MR2241914 (2007j:81020)
DOI:10.1080/17442500600737133
Résumé
Page conjectured [Phys. Rev. Lett. 71, 1291-1294 (1993)] that if a quantum
system of Hilbert space dimension \(mn\) is in a random pure state, the average
entropy of a subsystem of dimension \(m\le n\) should be given by the simple
and elegant formula \(S_{m,n}=\sum_{k=n+1}^{mn}\frac 1k-\frac{m-1}{2n}\).
This formula appeared to be true and was first proved by Foong and Kanno
[Phys. Rev. Lett. 72, 1148-1151 (1994)] by using Fourier transform,
and next by Sánchez-Ruiz [Phys. Rev. E 52, 5653-5655 (1995)]
and by Sen [Phys. Rev. Lett. 77, 1-3 (1996)]
by using random matrix theory connected with generalized Laguerre polynomials.
Adopting this last viewpoint, we detail the
probabilistic approach to this problem. Especially, viewing
any Gaussian vector as a product of a uniformly distributed unitary vector
by an Erlang distribution, we give a new insight for the different entropies
introduced by Page.
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Claude Monet (1840-1926) – Le Pont d'Argenteuil, 1874
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Masquer le résumé
Some explicit ditributions related to the first exit time from a bounded interval for certain functionals of Brownian motion
Journal of Theoretical Probability 19(4) (2006), 757-771.
Référence MathSciNet : MR2279602
DOI:10.1007/s10959-006-0039-9
Résumé
Let \((B_t)_{t\ge 0}\) be standard Brownian motion starting at \(y\) and set
\(X_t=x+\int_0^t V(B_s) \, ds\) for \(x\in (a,b)\),
with \(V(y)= y^{\gamma}\) if \(y\ge 0\), \(V(y)= -K(-y)^{\gamma}\) if \(y\le 0\),
where \(\gamma\) and \(K\) are some given positive constants.
Set \(\tau_{ab} = \inf \{t>0:X_t \notin (a,b)\}\).
In this paper we provide some formulas for the probability distribution of
the random variable \(B_{\tau_{ab}}\) as well as for the probability
\(\mathbb{P}\{X_{\tau_{ab}}=a\) (or \(b)\}\).
The formulas corresponding to the particular cases \(x=a\) or \(b\)
are explicitly expressed by means of hypergeometric functions.
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Claude Monet (1840-1926) – Impression, soleil levant, 1872
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Masquer le résumé
Minimal cyclic random motion in \(\mathbb{R}^n\) and hyper-Bessel functions
(avec E. Orsingher et S. Leorato, Università di Roma “La Sapienza”)
Annales de l'I. H. P. Sect. B 42(6) (2006), 753-772.
Référence MathSciNet : MR2269237
DOI:10.1016/j.anihpb.2005.11.002
Résumé
Article
We obtain the explicit distribution of the position of a particle
performing a cyclic, minimal, random motion with constant velocity
\(c\) in \(\mathbb{R}^n\). The \(n+1\) possible directions of motion as
well as the support of the distribution form a regular
hyperpolyhedron (the first one having constant sides and the other expanding with
time \(t\)), the geometrical features of which are here
investigated.
The distribution is obtained by using order statistics and is
expressed in terms of hyper-Bessel functions of order \(n+1\).
These distributions are proved to be connected with
\((n+1)\)th order p.d.e. which can be reduced to Bessel equations of
higher order.
Some properties of the distributions obtained are examined. This
research has been inspired by a conjecture formulated in Orsingher
and Sommella [1] which is here proved to be false.
-
[1] E. Orsingher and A.M. Sommella (2004). A cyclic random motion in \(R^3\)
with four directions and finite velocity, Stoch. Stoch. Rep, 76(2), 113-133.
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John Singer Sargent (1856-1925) – Place Navona, Rome, 1907
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Masquer le résumé
Cyclic random motions in space \(\mathbb{R}^d\) with \(n\) directions
ESAIM: Probability and Statistics 10 (2006), 277-316.
Référence MathSciNet : MR2247923
DOI:10.1051/ps:2006012
Résumé
Article
We study the probability distribution of the location of a particle
performing a cyclic random motion in \(\mathbb{R}^d\). The particle can take \(n\)
possible directions with different velocities and the changes of direction
occur at random times.
The speed-vectors as well as the support of the distribution form a
polyhedron (the first one having constant sides and the other
expanding with time \(t\)).
The distribution of the location of the particle
is made up of two components: a singular component
(corresponding to the beginning of the travel of the particle)
and an absolutely continuous component.
We completely describe the singular component and
exhibit an integral representation for the absolutely continuous one.
The distribution is obtained by using a suitable expression of the
location of the particle as well as some probability calculus
together with some linear algebra.
The particular case of the minimal cyclic motion (\(n=d+1\)) with
Erlangian switching times is also investigated and the related distribution
can be expressed in terms of hyper-Bessel functions with several arguments.
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Vincent Van Gogh (1853-1890) – Iris, 1889
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Masquer le résumé
First hitting time and place, monopoles and multipoles
for the pseudo-process driven by the equation \(\partial/\partial t=\pm\partial^N/\partial x^N\)
Electronic Journal of Probability 12 (2007), paper no. 11, 300-353.
Référence MathSciNet : MR2299920
DOI:10.1214/EJP.v12-399
Résumé
Article
Consider the high-order heat-type equation
\(\partial u/\partial t=\pm\partial^N u/\partial x^N\)
for an integer \(N>2\) and introduce the related Markov pseudo-process
\((X(t))_{t\ge 0}\). In this paper, we study several functionals related
to \((X(t))_{t\ge 0}\): the maximum \(M(t)\) and minimum \(m(t)\) up to time \(t\);
the hitting times \(\tau_a^+\) and \(\tau_a^-\) of the half lines \((a,+\infty)\)
and \((-\infty,a)\) respectively.
We provide explicit expressions for the distributions of
the vectors \((X(t),M(t))\) and \((X(t),m(t))\), as well as those of the vectors
\((\tau_a^+,X(\tau_a^+))\) and \((\tau_a^-,X(\tau_a^-))\).
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John Singer Sargent (1856-1925) – Les palais Labia et San Geremia, Venise, 1913
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Masquer le résumé
A stochastic continuation approach to piecewise constant reconstruction
(avec M. Robini et I. Magnin, INSA Lyon)
IEEE Transactions on Image Processing 16(10) (2007), 2576-2589.
Référence MathSciNet : MR2467787
DOI:10.1109/TIP.2007.904975
Résumé
We address the problem of reconstructing a piecewise
constant 3-D object from a few noisy 2-D line-integral projections.
More generally, the theory developed here readily applies to the
recovery of an ideal n-D signal from indirect measurements corrupted by noise.
Stabilization of this ill-conditioned inverse problem is achieved
with the Potts prior model, which leads to the
minimization of a discontinuous, highly multimodal cost function. To carry
out this challenging optimization task, we introduce a new class of
annealing-type algorithms we call stochastic continuation (SC).
We first prove that, under mild assumptions, SC inherits the desirable
finite-time convergence properties of generalized simulated annealing. Then,
we show that SC can be successfully applied to our 3-D reconstruction problem.
In addition, we look into the concave distortion acceleration method
introduced for standard simulated annealing and we
derive an explicit formula for choosing the free parameter of the cost
function. Numerical experiments using both synthetic data and real
radiographic testing data show that SC outperforms standard simulated annealing.
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John Singer Sargent (1856-1925) – Venise par temps gris, 1880
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Masquer le résumé
First hitting time and place for the pseudo-process driven by the equation
\(\partial/\partial t=\pm\partial^N/\partial x^N\) subject to a linear drift
Stochastic Processes and their Applications 118 (2008), 1-27.
Référence MathSciNet : MR2376250
DOI:10.1016/j.spa.2007.03.009
Résumé
Article
Consider the high-order heat-type equation
\(\partial u/\partial t=(-1)^{1+N/2}\partial^N u/\partial x^N\)
for an even integer \(N>2\) and introduce the related Markov pseudo-process
\((X(t))_{t\ge 0}\). Let us define the drifted pseudo-process \((X^b(t))_{t\ge 0}\)
by \(X^b(t)=X(t)+bt\). In this paper, we study the following functionals related
to \((X^b(t))_{t\ge 0}\): the maximum \(M^b(t)\) up to time \(t\);
the first hitting time \(\tau_a^b\) of the half line \((a,+\infty)\);
the hitting place \(X^b(\tau_a^b)\) at this time.
We provide explicit expressions for the Laplace-Fourier transforms of
the distributions of the vectors \((X^b(t),M^b(t))\) and
\((\tau_a^b,X^b(\tau_a^b))\), from which we deduce remarkable expressions for
the distribution of \(X^b(\tau_a^b)\) as well as for the escape pseudo-probability:
\(P\{\tau_a^b=+\infty\}\).
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John Singer Sargent (1856-1925) – Rio dei Mendicanti, Venise, 1909
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Masquer le résumé
A note on Spitzer identity for random walk
Statistics and Probability Letters 78 (2008), 2576-2589.
Référence MathSciNet : MR2382062
DOI:10.1016/j.spl.2007.05.025
Résumé
Article
Let \((S_n)_{n\ge 0}\) be a random walk evolving on the real line and introduce
the first hitting time of the half-line \((a,+\infty)\) for any real \(a\):
\(\tau_a=\min\{n\ge 1:S_n>a\}\). The classical Spitzer identity (1960) supplies
an expression for the generating function of the couple \((\tau_0,S_{\tau_0})\).
In (1998), Nakajima [Kodai Math. J. 21, 192-200] derived a relationship between the
generating functions of the random couples \((\tau_0,S_{\tau_0})\) and
\((\tau_a,S_{\tau_a})\) for any positive number \(a\).
In this note, we propose a new and shorter proof for this relationship and
complement this analysis by considering the case of an increasing random walk.
We especially investigate the Erlangian case and provide an explicit expression
for the joint distribution of \((\tau_a,S_{\tau_a})\) in this situation.
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John Singer Sargent (1856-1925) – Entrée du Grand Canal, Venise, 1907
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Masquer le résumé
Some Darling-Siegert relationships connected with random flights
(avec V. Cammarota et E. Orsingher, Università di Roma “La Sapienza”)
Statistics and Probability Letters 79(2) (2009), 243-254.
Référence MathSciNet : MR2483547
DOI:10.1016/j.spl.2008.08.002
Résumé
Article
We derive in detail four important results on integrals of Bessel functions
from which three combinatorial identities are extracted. We present the
probabilistic interpretation of these identities in terms of different types
of random walks, including asymmetric ones. This work extends the results
of a previous paper concerning the Darling-Siegert interpretation of
similar formulas emerging in the analysis of random flights.
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Ippolito Caffi (1809-1866) – Rome, vue des trous avec la colonne de Traiano
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Masquer le résumé
Chung's law for homogeneous Brownian functionals (avec T. Simon, Université d'Évry)
Rocky Mountain Journal of Mathematics 40(2) (2010), 561-579.
Référence MathSciNet : MR2646458
DOI:10.1216/RMJ-2010-40-2-561
Résumé
Article
Consider the first exit time \(T_{a,b}\) from a finite interval \([-a,b]\) for an
homogeneous fluctuating functional \(X\) of a linear Brownian motion.
We show the existence of a finite positive constant \(\kappa\) such that
\[\lim_{t\to\infty}t^{-1}\log \mathbb{P}[ T_{ab}> t]\; =\; -\kappa.\]
Following Chung's original approach [1], we deduce a “liminf”
law of the iterated logarithm for the two-sided supremum of \(X\). This
extends and gives a new point of view on a result of Khoshnevisan and Shi [2].
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[1] K. L. Chung. On the maximum partial sums of sequences of independent random variables.
Trans. Amer. Math. Soc. 64 (1948), 205-233.
-
[2] D. Khoshnevisan and Z. Shi. Chung's law for integrated Brownian motion.
Trans. Amer. Math. Soc. 350(10) (1998), 4253-4264.
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Francesco Guardi (1712-1793) – Santa Maria della Salute, 1783
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Masquer le résumé
Joint distribution of the process and its sojourn time in the positive
half-line for pseudo-processes governed by higher-order heat-type equations
(avec V. Cammarota, Università di Roma “La Sapienza”)
Electronic Journal of Probability 15 (2010), Paper no. 28, 895-931.
Référence MathSciNet : MR2653948
DOI:10.1214/EJP.v15-782
Résumé
Article
Consider the high-order heat-type equation \(\partial u/\partial
t=\pm\,\partial^N u/\partial x^N\) for an integer \(N>2\) and introduce
the related Markov pseudo-process \((X(t))_{t\ge 0}\). In this paper,
we study the sojourn time \(T(t)\) in the positive half-line \([0,+\infty)\) up to
a fixed time \(t\) for this pseudo-process. We provide explicit expressions
for the joint distribution of the couple \((T(t),X(t))\).
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Ippolito Caffi (1809-1866) – Rome, avec vue sur le Tibre, Castel Sant'Angelo et Saint-Pierre
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Masquer le résumé
A class of bridges of iterated integrals of Brownian motion related to
various boundary value problems involving the one-dimensional polyharmonic operator
International Journal of Stochastic Analysis 2011 (2011), Art. ID 762486, 32 p.
Référence MathSciNet : MR2861121
DOI:10.1155/2011/762486
Résumé
Article
Let \((B(t))_{t\in [0,1]}\) be the linear Brownian motion and \((X_n(t))_{t\in [0,1]}\)
be the \((n-1)\)-fold integral of Brownian motion, \(n\) being a positive integer:
\[X_n(t)=\int_0^t \frac{(t-s)^{n-1}}{(n-1)!} \,\mathrm{d} B(s)
\text{ for any } t\in[0,1].\]
In this paper we construct several bridges between times \(0\) and \(1\) of the process
\((X_n(t))_{t\in [0,1]}\) involving conditions on the successive derivatives
of \(X_n\) at times \(0\) and \(1\). For this family of bridges, we make
a correspondance with certain boundary value problems related to
the one-dimensional polyharmonic operator. We also study the classical problem
of prediction. Our results involve various Hermite interpolation polynomials.
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Emmanuel Costa (1833-1921) – Le monastère de Saint-Pons
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Masquer le résumé
A random walk model related to the clustering of membrane receptors
In: Skogseid, A. and Fasano, V. (eds) “Statistical Mechanics and Random Walks: Principles, Processes and Applications”,
Chapter 18, 545-580, Nova Science publishers, 2012.
Résumé
Article
In a cellular medium, the plasmic membrane is a place
of interactions between the cell and its direct external environment.
A classic model describes it as a fluid mosaic.
The fluid phase of the membrane allows a lateral degree of freedom to
its constituents: they seem to be driven by random motions along the membrane.
On the other hand, experimentations bring to light inhomogeneities on the membrane;
these micro-domains (the so-called rafts) are very rich in proteins and phospholipids.
Nevertheless, few functional properties of these micro-domains have been
shown and it appears necessary to build appropriate models of the membrane
for recreating the biological mechanism.
In this article, we propose a random walk model
simulating the evolution of certain constituents–the so-called
ligands–along a heterogeneous membrane. Inhomogeneities–the rafts–are
described as being still clustered receptors. An important variable of interest to
biologists is the time that ligands and receptors bind during a fixed amount of time.
This stochastic time can be interpreted as a measurement of affinity/sentivity of ligands for receptors.
It corresponds to the sojourn time in a suitable set for a certain random walk.
We provide a method of calculation for the probability distribution
of this random variable and we next determine explicitly this distribution
in the simple case when we are dealing with only one ligand and one receptor.
We finally address some further more realistic models.
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Structure d'un domaine de liaison ligand-récepteur du glutamate
mettant en évidence des résidus (rouge) qui font connexion à travers la fente.
Le résidu central forme une liaison stabilisant le domaine dans un état fermé.
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Masquer le résumé
Sojourn time in \(\mathbb{Z}^+\) for the Bernoulli random walk on \(\mathbb{Z}\)
ESAIM: Probability and Statistics 16 (2012), 324-351.
Référence MathSciNet : MR2966167
DOI:10.1051/ps/2010013
Résumé
Article
Let \((S_k)_{k\ge 1}\) be the classical Bernoulli random walk on the integer line
with jump parameters \(p\in(0,1)\) and \(q=1-p\). The probability distribution of
the sojourn time of the walk in the set of non-negative integers up to a fixed
time is well-known, but its expression is not simple. By modifying slightly this
sojourn time–through a particular counting process of the zeros of the
walk as done by Chung and Feller ["On fluctuations in coin-tossings",
Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 35 (1949), 605-608]–, simpler
representations may be obtained for its probability distribution.
In the aforementioned article, only the symmetric case (\(p=q=1/2\)) is considered.
This is the discrete counterpart to the famous Paul Lévy's arcsine law for Brownian motion.
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Francesco Guardi (1712-1793) – Le Grand Canal, avec les églises San Simeone et Santa Lucia, 1780
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Masquer le résumé
Joint distribution of the process and its sojourn time in a
half-line \([a,+\infty)\) for pseudo-processes governed by higher-order heat-type equations
(avec V. Cammarota, Università di Roma “La Sapienza”)
Stochastic Processes and their Applications 122 (2012), 217-249.
Référence MathSciNet : MR2860448
DOI:10.1016/j.spa.2011.08.004
Résumé
Article
Let \((X(t))_{t \ge 0}\) be the pseudo-process driven by the
high-order heat-type equation \(\partial u/\partial
t=\pm\,\partial^N u/\partial x^N\), where \(N\) is
an integer greater than 2. Let us introduce the sojourn time spent
by \((X(t))_{t \ge 0}\) in \([a,+\infty)\) (\(a\in \mathbb{R}\)),
up to a fixed time \(t>0\):
\(T_a(t)=\int_0^t 1\!\!\mathrm{l}_{[a,+\infty)}(X(s))\,\mathrm{d}s\).
The purpose of this paper is to explicit the joint pseudo-distribution
of the vector \((T_a(t),X(t))\) when the pseudo-process starts
at a point \(x\in \mathbb{R}\) at time \(0\). The method consists
of solving a boundary value problem satisfied by the Laplace
transform of the aforementioned distribution.
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Ippolito Caffi (1809-1866) – Vue de Santa Maria Maggiore et Santa Prassede
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Masquer le résumé
A survey on the pseudo-process driven by the high-order heat-type
equation \(\partial/\partial t=\pm\partial^N/\partial x^N\)
concerning the first hitting times and sojourn times
Methodology and Computing in Applied Probability 14(3) (2012), 549-566.
Référence MathSciNet : MR2966309
DOI:10.1007/s11009-011-9245-8
Résumé
Article
Fix an integer \(n>2\) and let \((X(t))_{t\ge 0}\) be the
pseudo-process driven by the high-order heat-type
equation \(\partial/\partial t=\pm\partial^n/\partial x^n\).
The denomination ''pseudo-process'' means that \((X(t))_{t\ge 0}\)
is related to a signed measure (which is not a probability measure)
with total mass equal to 1.
In this note, we present some results and discuss some problems
concerning the pseudo-distributions of the first overshooting
times of a single barrier \(\{a\}\) or a double barrier \(\{a,b\}\)
by \((X(t))_{t\ge 0}\), as well as those of the sojourn times
of \((X(t))_{t\ge 0}\) in the intervals \([a,+\infty)\) and \([a,b]\)
up to a fixed time.
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Emmanuel Costa (1833-1921) – La cathédrale Saint-Nicolas à Nice
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Sojourn time in an union of intervals for diffusions
Methodology and Computing in Applied Probability 15(4) (2013), 743-771.
Référence MathSciNet : MR3117625
DOI:10.1007/s11009-012-9280-0
Résumé
Article
We give a method for computing the iterated Laplace-transform of the sojourn
time in an union of intervals for linear diffusion processes. This random
variable comes from a model occurring in biology concerning the clustering
of membrane receptors. The way used hinges on solving differential equations.
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From pseudo-random walk to pseudo-Brownian motion:
first exit time from a one-sided or a two-sided interval
International Journal of Stochastic Analysis 2014 (2014), Art. ID 520136, 49 p.
Référence MathSciNet : MR3191097
DOI:10.1155/2014/520136
Résumé
Article
Let \(N\) be a positive integer, \(c\) be a positive constant
and \((U_n)_{n\ge 1}\) be a sequence of independent identically distributed
pseudo-random variables. We assume that the \(U_n\)'s take their values in the
discrete set \(\{-N,-N+1,\dots,N-1,N\}\) and that their common pseudo-distribution is
characterized by the
(positive or negative) real numbers
\[\mathbb{P}\{U_n=k\}=\delta_{k0}+(-1)^{k-1} c{2N\choose k+N}\]
for any \(k\in\{-N,-N+1,\dots,N-1,N\}\).
Let us finally introduce \((S_n)_{n\ge 0}\) the associated pseudo-random walk defined
on \(\mathbb{Z}\) by \(S_0=0\) and \(S_n=\sum_{j=1}^n U_j\) for \(n\ge 1\).
In this paper, we exhibit some properties of \((S_n)_{n\ge 0}\). In particular,
we explicitly determine the pseudo-distribution of the first
overshooting time of a given threshold for \((S_n)_{n\ge 0}\) as well
as that of the first exit time from a bounded interval.
Next, with an appropriate normalization, we pass from the pseudo-random walk
to the pseudo-Brownian motion driven by the high-order heat-type equation
\(\partial/\partial t=(-1)^{N-1} c\;\partial^{2N}\!/\partial x^{2N}\).
We retrieve the corresponding pseudo-distribution of the first
overshooting time of a threshold for the pseudo-Brownian motion
(Lachal, A.: First hitting time and place, monopoles and multipoles for
pseudo-processes driven by the equation
\(\partial/\partial t=\pm \partial^N/\partial x^N\).
Electron. J. Probab. 12 (2007), 300-353 [MR2299920]).
In the same way, we get the pseudo-distribution of the first
exit time from a bounded interval for the pseudo-Brownian motion
which is a new result for this pseudo-process.
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Vincent Van Gogh (1853-1890) – Amandier en fleurs, 1890
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First exit time from a bounded interval for pseudo-processes driven by the equation \(\partial/\partial t=(-1)^{N-1} \partial^{2N}\!/\partial x^{2N}\)
Stochastic Processes and their Applications 124(2) (2014), 1084-1111.
Référence MathSciNet : MR3138608
DOI:10.1016/j.spa.2013.09.016
Résumé
Article
Let \(N\) be a positive integer. We consider pseudo-Brownian motion \(X=(X(t))_{t \ge 0}\)
driven by the high-order heat-type equation \(\partial/\partial t=(-1)^{N-1}
\partial^{2N}\!/\partial x^{2N}\). Let us introduce the first exit time \(\tau_{ab}\) from a bounded
interval \((a,b)\) by \(X\) (\(a,b\in \mathbb{R}\)) together with the related location,
namely \(X_{\tau_{ab}}\).
In this paper, we provide a representation of the joint pseudo-distribution of the vector
\((\tau_{ab},X(\tau_{ab}))\) by means of some determinants. The method we use is
based on the Feynman-Kac functional related to pseudo-Brownian motion which leads to
a boundary value problem. In particular, the pseudo-distribution of \(X(\tau_{ab})\)
admits a fine expression involving famous Hermite interpolating polynomials.
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Federico Moja (1802–1885) – La cour du palais des Doges, Venise
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Entrance and sojourn times for Markov chains. Application to \((L,R)\)-random walks
(avec V. Cammarota, Università di Roma “Tor Vergata”)
Markov Processes and Related Fields 21(4) (2015), 887-938.
MathSciNet reference: MR3496230
Résumé
Article
In this paper, we provide a methodology for computing the probability
distribution of certain sojourn times for Markov chains. Our methodology hinges on matrix
equations for various generating functions. As an example, we apply this
methodology to a class of random walks with bounded integer-valued jumps.
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Giovanni Paolo Panini (1691–1765) – Caprice avec le Colisée, 1735
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Some asymptotic results for the integrated empirical process with applications to statistical tests
(avec S. Alvarez-Andrade et S. Bouzebda, Université de Technologie de Compiègne)
Communications in Statistics – Theory and Methods 46(7) (2017), 3365-3392
MathSciNet reference: MR3589103
DOI:10.1080/03610926.2015.1060346
Résumé
Article
The main purpose of this paper is to investigate the strong approximation of the integrated
empirical process. More precisely, we obtain the exact rate of the approximations by a sequence
of weighted Brownian bridges and a weighted Kiefer process.
Our arguments are based in part on the Komlós
et al.'s results, [1].
Applications include the two-sample testing procedures together with the change-point problems.
We consider also the strong approximation of the integrated empirical process when the parameters
are estimated. Finally, we study the behavior of the self-intersection local time of the
partial sums process representation of the integrated empirical process.
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[1] Komlós, J., Major, P. and Tusnády, G.
An approximation of partial sums of independent RV's and
the sample DF (I). Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 32 (1975), 111-131.
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Carle Vernet – Napoléon à la chasse dans la forêt de Compiègne, 1811
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Strong approximations for the \(p\)-fold integrated empirical processes with applications to statistical tests
(avec S. Alvarez-Andrade et S. Bouzebda, Université de Technologie de Compiègne)
TEST 27(4) (2018), 826-849
MathSciNet reference: MR3878363
DOI:10.1007/s11749-017-0572-0
Résumé
Article
The main purpose of this paper is to investigate the strong approximation of
a class of integrated empirical processes. More precisely, we obtain the exact rate of the
approximations by a sequence of weighted Brownian bridges and a weighted Kiefer process.
Our arguments are based in part on the Komlós
et al.'s results, [1].
Applications include the two-sample testing procedures together with the
change-point problems. We also consider the strong approximation of integrated
empirical processes when the parameters are estimated.
-
[1] Komlós, J., Major, P. and Tusnády, G.
An approximation of partial sums of independent RV's and
the sample DF (I). Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete 32 (1975), 111-131.
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Raymond Fournier-Sarlovèze (1836-1916) – 23 mai 1430, Prise de Jeanne d'Arc devant Compiègne
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Notes publiées dans les Comptes Rendus de l'Académie des Sciences
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Sur l'intégrale du mouvement brownien
t. 311 (1990), 461-464.
Référence MathSciNet : MR1075671 (91i:60207)
Résumé
Let \((B_t)_{t\ge0}\), be the standard Brownian motion in \(\mathbb{R}\). Define
\(X_t=\int^t_0B_s\,ds\), \(U_t=(X_t+x+ty,B_t+y)\), \((x,y)
\in\mathbb{R}^2\), and \(\tau_a=\inf\{t>0\); \(U_t\in\{a\}\times\mathbb{R}\}\).
In this note we compute explicitly the joint distribution of \(\tau_a\) and
\(U_{\tau_a}\). We also indicate a simple proof of a recent result of
M. Lefebvre with some improvements.
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Edouard Manet (1832-1883) – Le banc (le jardin de Versailles), 1880-81
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Sur les excursions de l'intégrale du mouvement brownien
t. 314 (1992), 1053-1056.
Référence MathSciNet : MR1168534 (93c:60123)
Résumé
Let \((B(t))_{t\ge 0}\) be the standard Brownian motion in \(\mathbb{R}\) started at \(0\),
and let \(X(t)=\int^t_0 B(s)\,ds+x+ty\), where \((x,y)\in\mathbb{R}^2\)
is a fixed point. In this note we compute explicitly the law of the
excursion process straddling a fixed instant \(T>0\) related to \((X(t))_{t\ge 0}\).
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Pierre-Auguste Renoir (1841-1919) – Rochers à l'Estaque, 1882
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Sur les temps de passages successifs de l'intégrale du mouvement brownien
t. 321 (1995), 903-908.
Référence MathSciNet : MR1355850 (96k:60207)
Résumé
Dans cette note nous explicitons diverses distributions associées
aux temps de passages successifs en 0 pour l'intégrale du mouvement brownien.
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Jean-Baptiste Camille Corot (1796-1875) – Vue de Gênes, 1834
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Temps de sortie d'un intervalle borné pour la primitive du mouvement brownien
t. 324 (1997), 559-564.
Référence MathSciNet : MR1443994 (98a:60116)
DOI:10.1016/S0764-4442(99)80390-5
Résumé
Let \((B_t)_{t\ge0}\) be a standard Brownian motion starting at \(y, X_
t=x+\int^t_0B_sds, x\in(a,b)\). Set \(\tau_{ab}=\inf\{t>0\colon X_
t\notin(a,b)\}\). In this paper, we compute the moments of the random variable
\(B_{\tau_{ab}}\), and deduce the probability law of \(B_{\tau_{ab}}\).
We show how to obtain the expectation \({\bf E}_{(x,y)}(\tau^m_
{ab}B^n_{\tau_{ab}}\)). We also determine explicitly the
probabilities \({\bf P}_{(x,y)}\{X_{\tau_{ab}}=a\}\) and \({\bf P}_{(x,y)}\{X_{\tau_{ab}}=b\}\).
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Henri Fantin-Latour (1836-1904) – Nature morte aux fleurs, 1881
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Quelques lois de probabilités associées à un modèle de duplication d'un ADN
t. 336 (2003), 175-180.
Référence MathSciNet : MR1969574 (2004c:62030)
DOI:10.1016/S1631-073X(03)00006-2
Résumé
Article
Dans cette Note, on calcule explicitement les transformées de Laplace
de plusieurs variables aléatoires introduites par Cowan and Chiu dans
un modèle probabiliste du processus de duplication d'un ADN, [1] et [2].
Ces transformées de Laplace s'obtiennent à partir d'équations de
quasi-renouvellement ou d'équations différentielles fonctionnelles et sont
exprimées au moyen de produits infinis issus de la théorie des partitions.
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[1] R. Cowan. Stochastic models for DNA replication,
in The Handbook of Statistics, Vol. 20, eds. C.R. Rao and D.N. Shanbhag, Elsevier, 2001.
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[2] R. Cowan and S.N. Chiu. Stochastic model of fragment formation
when DNA replicates, J. Appl. Prob. 31 (1994), 301-308.
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Paul Cézanne (1839-1906) – La Montagne Sainte-Victoire, 1885
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Lois conjointes du processus et de son maximum, des premier instant et position
d'atteinte d'une demi-droite pour le pseudo-processus régi par l'équation
\(\partial/\partial t=\pm\partial^n/\partial x^n\)
t. 343 (2006), 525-530.
Référence MathSciNet : MR2267588
DOI:10.1016/j.crma.2006.09.027
Résumé
Article
Dans cette Note, on présente des formules explicites pour les distributions
conjointes du pseudo-processus régi par l'équation
\(\frac{\partial}{\partial t}=\pm\frac{\partial^N}{\partial x^N}\)
couplé avec son maximum, et du premier instant de dépassement d'un seuil
fixé par ce pseudo-processus couplé avec sa position relative à cet instant.
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John Singer Sargent (1856-1925) – Rio dell'Angelo
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Articles publiés dans des revues académiques
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La pyramide de Kheops et quelques équations du quatrième degré
Quadrature 69 (2008), 36-47.
Référence Zentralblatt MATH : Zbl 1242.51013
DOI:10.1051/quadrature:2008004
Résumé
Article
Dans un article publié dans l'édition française de la revue australienne
Nexus, James Colmer présentait une hypothèse originale sur la
fonction de la pyramide de Kheops et sur l'existence présumée d'un ensemble
de galeries et chambres cachées, symétriques à celles connues.
La démarche de J. Colmer, dans sa recherche, passait par un tracé géométrique
impliquant un certaine valeur de l'angle formé par la face de la pyramide avec
sa base horizontale et la triple intersection d'une circonférence avec deux
segments de droites spécifiques.
André Dufour, traducteur pour Nexus France et architecte de métier, ayant eu
la charge de traduire cet article, s'aperçut après avoir refait sur ordinateur
le tracé géométrique de J. Colmer que ce dernier était faux.
Cela n'enlevait rien à l'intérêt de l'hypothèse de J. Colmer,
objet principal de l'article, mais posait un problème
intéressant de géométrie. Après en avoir fait une note de traducteur publiée
simultanément avec l'article traduit de J. Colmer, plusieurs lecteurs,
F. De Ligt, J.-F. Pioche et l'auteur du présent article
réagirent au problème en fournissant des valeurs exactes pour l'angle
mis en cause par le biais de diverses méthodes calculatoires.
Par une démarche empirique, A. Dufour tenta une construction graphique
à l'aide d'un logiciel de dessin vectoriel afin d'obtenir la position du
sommet de la pyramide requise par la théorie de J. Colmer. Cette approche,
qu'il a soumise à l'auteur, repose sur la construction d'une courbe en polyligne lissée
dont l'intersection avec une droite adéquate fournit avec une excellente
précision la position du sommet recherché (en fait deux sommets conviendront
comme cela apparaîtra ultérieurement). Par une approche analytique,
l'auteur prouvera alors que cette construction est parfaitement
exacte. Il est intéressant de noter que, bien au-delà d'un exercice de géométrie
élémentaire en apparence, ce problème suscitera en fait une analyse
mathématique particulièrement riche touchant à des domaines diversifiés.
Tous les éléments des diverses correspondances entre A. Dufour,
F. De Ligt, J.-F. Pioche et l'auteur sont rassemblées dans le présent article.
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David Roberts (1796-1864) – Les pyramides de Khéops et Khéphren
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Mélanges parfaits de cartes (I). In-shuffles et out-shuffles
Quadrature 76 (2010), 13-25.
Référence Zentralblatt MATH : Zbl 1214.91014
DOI:10.1051/quadrature/2010001
Résumé
Article
Dans cet article suivi d'un article compagnon qui paraîtra dans le prochain numéro de Quadrature, on étudie
quelques mélanges de cartes bien connus du monde de la magie. On examine en détail l'éventualité de
reconstituer le jeu de cartes initial après plusieurs mélanges consécutifs.
Il s'agit mathématiquement d'un problème de systèmes dynamiques discrets pour lequel
on recherche explicitement une période. Les calculs reposant sur des considérations
algébriques élémentaires, l'article se veut accessible à un large public.
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Paul Cézanne (1839-1906) – Les joueurs de cartes, 1890-1892
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Mélanges parfaits de cartes (II). Mélanges de Monge
Quadrature 77 (2010), 23-29.
Référence Zentralblatt MATH : Zbl 1262.91038
DOI:10.1051/quadrature/2010008
Résumé
Article
Dans cet article qui fait suite à un travail paru dans le numéro précédent de Quadrature,
on s'intéresse à une classe de mélanges de cartes – appelés mélanges
de Monge – bien connus du monde de la magie. On étudie la possibilité de retrouver le jeu de cartes initial après
plusieurs mélanges successifs. Il s'agit d'un problème de systèmes dynamiques
discrets pour lequel on recherche explicitement une période.
L'approche adoptée ici est élémentaire, ce qui rend l'article facilement abordable.
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Paul Cézanne (1839-1906) – Les joueurs de cartes, 1890-1892
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Cartomagie : principes de Gilbreath (I). Dénombrement de mélanges américains (avec P. Schott, ESIEA de Paris)
Quadrature 85 (2012), 24-35.
Référence Zentralblatt MATH : Zbl 06131689
Résumé
Article
Les principes magiques de Gilbreath permettent, à partir d'un jeu de cartes
préalablement classé après un mélange américain, de garder ses propriétés de
classement par bloc de cartes mais de façon éventuellement désordonnée (les
cartes d'un même bloc n'étant plus dans l'ordre du classement initial).
De telles propriétés permettent de voir se réaliser des prédictions
malgré un vrai mélange ! Nous exposons en trois parties ces principes de
cartomagie. Dans ce premier volet, nous présentons les mélanges américains
et détaillons leur dénombrement. Dans deux autres volets, nous présenterons
des applications magiques des principes de Gilbreath, ainsi que leur démonstration mathématique.
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Adriaen Brouwer (1605-1638) – Les joueurs de cartes
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Cartomagie : principes de Gilbreath (II). Quelques applications (avec P. Schott, ESIEA de Paris)
Quadrature 86 (2012), 31-37.
Référence Zentralblatt MATH : Zbl 1254.97015
Référence MathSciNet : MR3059190
Résumé
Article
Les principes magiques de Gilbreath permettent, à partir d'un jeu de cartes
préalablement classé de garder, après un mélange américain, ses propriétés de
classement par bloc de cartes mais de façon éventuellement désordonnée (les
cartes d'un même bloc n'étant plus dans l'ordre du classement initial).
De telles propriétés permettent de voir se réaliser des prédictions
malgré un vrai mélange ! Nous avons proposé dans un premier volet paru dans
le numéro précédent de Quadrature un calcul de dénombrement des mélanges
américains possibles ainsi qu'un algorithme permettant de les réaliser à partir
d'un jeu de cartes donné. Dans ce second volet, nous donnons des applications des mélanges
américains fondées sur les principes magiques de Gilbreath. Pour chacun d'entre eux,
nous présentons un tour de magie. Les démonstrations de ces principes font l'objet d'un dernier volet qui apparaîtra dans le prochain numéro.
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Michelangelo Merisi da Caravaggio (1571-1610) – Les tricheurs, 1594
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Cartomagie : principes de Gilbreath (III). Diverses démonstrations (avec P. Schott, ESIEA de Paris)
Quadrature 87 (2013), 30-37.
Référence Zentralblatt MATH : Zbl 1284.00003
Référence MathSciNet : MR3059800
Résumé
Article
Les principes magiques de Gilbreath permettent, à partir d'un jeu de cartes
préalablement classé de garder, après un mélange américain, ses propriétés de
classement par bloc de cartes mais de façon éventuellement désordonnée (les
cartes d'un même bloc n'étant plus dans l'ordre du classement initial).
De telles propriétés permettent de voir se réaliser des prédictions
malgré un vrai mélange ! Nous avons proposé dans deux volets parus dans
les numéros précédents de Quadrature un calcul de dénombrement des mélanges
américains possibles ainsi que plusieurs tours de magie reposant sur les principes magiques de
Gilbreath. Dans ce dernier volet, nous fournissons les démonstrations détaillées de chacun de ces principes.
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Georges de La Tour (1593-1652) – Le tricheur à l'as de carreau, 1632
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Un tour de magie autour de Fibonacci, Lucas et Chebyshev
Quadrature 93 (2014), 27-35.
Référence MathSciNet : MR3237161
Résumé
Article
Nous présentons un tour de magie autour des nombres de Fibonacci que l'on peut trouver
dans divers manuels de magie. Ce tour consiste à calculer rapidement la somme des
termes successifs d'une suite de type Fibonacci. Nous fournissons des explications ainsi que des
extensions de cette astuce pour des suites plus générales. Cette étude nous a
conduit à des connexions intéressantes entre les suites de Fibonacci, de Lucas et les polynômes de Tchebychev.
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Leonardo Fibonacci (1175-1250)
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Quelques modèles de reproduction stochastiques
Document
Modèles phylogénétiques stochastiques
Document
Alignement de séquences : modèles stochastiques
Document
Quelques exposés de conférence
Bridges of certain Wiener integrals: some properties and application
to goodness-of-fit testing
Fourth Hungarian Colloquium on limit theorems of
Probability and Statistics, Balatonlelle (Hongrie)
et séminaire d'Aarhus (Danemark), 1999
Exposé
Étude de quelques nouvelles statistiques intégrées
Journées de probabilités, Luminy, 2000
Exposé
Quelques modèles probabilistes en biologie moléculaire
Séminaire de Dijon, 2002
Exposé
Lois du temps de séjour et du maximum pour un pseudo-processus gouverné par
l'équation de la chaleur d'ordre supérieur
\(\partial u/\partial t = \pm\partial^n u/\partial x^n\)
Séminaire de Nancy, 2002
Exposé
Un modèle de réplication d'un ADN
Séminaire de Saint-Étienne, 2003
Exposé
Quelques problèmes de temps de passage pour certains processus non nécessairement markoviens
Journées SMAI : Modélisation aléatoire et statistique,
Nancy, 2004
Exposé
Maximum, first hitting time and first hitting place of a half-line
for a pseudo-process driven by a high-order heat-type equation
Séminaire de Rome (Italie), 2006
Exposé
Un panorama de lois remarquables pour le pseudo-processus régi par
l'équation de type chaleur
\(\partial u/\partial t=\pm\partial^nu/\partial x^n\)
d'ordre \(n>2\)
Séminaire d'Évry, 2008
Exposé
A survey on the pseudo-process driven by the high-order heat-type
equation \(\partial/\partial t=\pm\partial^N/\partial x^N\)
concerning the first hitting times and sojourn times
Fifth International Workshop on Applied Probability,
Madrid (Espagne), 2010
Exposé
Some stochastic processes related to the polyharmonic differential operator
Self-Similarity and Stochastic Analysis, le Touquet, 2011
Exposé
Mouvement brownien, pseudo-mouvement brownien et EDP. Applications
Journées Modélisation Mathématique et Calcul Scientifique,
Sainte Foy-lès-Lyon, 2011
Exposé
Mathémagie : Une approche didactique des mathématiques et des sciences par la Magie (avec P. Schott, ESIEA de Paris)
Cycle de conférences mathématiques, Insa de Lyon, 2012
Exposé :
Présentation
-
Une vidéo
Pseudo-marche aléatoire et pseudo-mouvement brownien : premier instant
de dépassement d'un seuil simple ou double
Séminaire de Lille, 2014
Exposé
Panorama sur l'intégrale du mouvement brownien et autres processus intégrés
Séminaire de Lille, 2014
Exposé
Entrance and sojourn times for Markov chains. Application to \((L,R)\)-random walks
A probability afternoon, Lille, 2015
Stochastic processes under constraints, Augsburg (Allemagne), 2016
Exposé
Some distributions on pseudo-Brownian motion and pseudo-random walk
Recent developments in probability theory and stochastic processes
– A conference in honour of Enzo Orsingher on the occasion of his 70th birthday,
Rome (Italie), 2016
Exposé
Math&Magie (II) : Les Mathématiques au service de la Magie ou la Magie
au service des Mathématiques ? (avec P. Schott, ESIEA de Paris)
Cycle de conférences mathématiques, Insa de Lyon, 2016
Exposé :
Partie 1
-
Partie 2
Carrés magiques, cartomagie (avec P. Schott, ESIEA de Paris)
Exposition «Magimatique», Maison des Mathématiques
et de l'Informatique, Lyon, 2016/2017
Matériel :
Diaporama
-
Poster 1
-
Poster 2
-
Poster 3
-
Poster 4
Math&Magie (III) : La Mathématique est-elle Magique ? ou la Magie
est-elle Mathématique ? (avec P. Schott, ESIEA de Paris)
Exposition «Magimatique», Maison des Mathématiques
et de l'Informatique, Lyon, 2017
Exposé
Some asymptotic results for integrated empirical processes with applications to statistical tests
10th International Conference of the ERCIM WG
on Computational and Methodological Statistics, London (Royaume-Uni), 2017
Exposé
Math&Magie (IV) : La Mathématique est-elle Magique ? ou la Magie
est-elle Mathématique ? (avec P. Schott, ESIEA de Paris)
Cycle de conférences mathématiques, Insa de Lyon, 2018
Exposé
Mélanges Faros et cryptographie
Rallye mathématique de l’académie de Lyon, Insa Lyon, 2023
Exposé