Énoncé du problème
On se place aux bords d’un champ constitué d’une infinité de colonnes verticales, identiques, qui sont repérées par des points sur la grille ci-contre
Les colonnes ont toutes des coordonnées entières strictement positives et on se place sur les bords correspondant aux demi-droites des axes des abscisses et des ordonnées. Depuis ce bord on pointe un laser à travers ce champ de colonnes.
Trouver toutes les trajectoires où le laser ne rencontre aucune colonne. Comment les caractériser ? Comment le prouver ?
Choix du problème
Connaissances mathématiques
♦ Caractérisation d’une droite (point de vue géométrique, vectoriel ou affine)
♦ Equations de droite (générale ou réduite)
♦ Vecteur directeur, vecteurs colinéaires
♦ Appartenance d’un point à une droite (par équation, par colinéarité. . .)
♦ Ensembles de nombres
♦ Propriété des rationnels
♦ PGCD, PPCM de deux entiers
♦ Equations diophantiennes
Les raisonnements utilisés
♦ Disjonction de cas
♦ Raisonnement par l’absurde
♦ Raisonnement par condition nécessaire et suffisante (analyse-synthèse)Caractérisation d’une droite (point de vue géométrique, vectoriel ou affine)