Math 4 Printemps 2019, Séquence 1

Horaires

Cours : le lundi matin de 10h à 12H00. Exception: Premier cours: le 21 janvier 2019 de 11h30 à 13H, amphi Déambulatoire 5

TD : le mardi de 14h à 17h15 à partir du 29 janvier, les groupes sont sur Tomuss et les salles seront sur ADE (attention les salles peuvent changer).

Grp A (avec Fabien Vignes-Tourneret) en Thémis 67.

Grp B (avec Viet Dang) en Grignard 03.

Grp C (avec Marina Poulet) en Thémis 63 ( sauf 29/01 Thémis 49).

Grp D (avec Pascal Lainé) en Déambulatoire Salle 5.

Cours

Le Programme officiel du cours est disponible ici.

Polycopié du cours :Cours complet (sans les exercices corrigés en Amphi, Version du 30 avril avec correction de la définition de l'indice, correcte en amphi)

Autres références allant au delà du niveau de ce cours:

Méthodes mathématiques pour les sciences physiques par Laurent Schwartz, aux éditions Hermann

Progression (complétée au fur et à mesure de l'avancement)

Cours du 21/01/2019 (1H30): Présentation, Rappels sur les primitives, Intégrales impropres: Définition, Exemples de référence, Thm de comparaison I.

Cours du 28/01/2019 (2H30): Thm de comparaison II (avec exo). Méthode d'intégration par partie sur l'intégrale de Fresnel. Définition des mesures (exemple des mesures de Dirac et mesures à densités continues), Masse de Dirac comme limite de fonctions bosses. Théorème de convergence dominée (avec exemples)

Cours du 04/02/2019 (2H): Propriétés de l'Intégrale de Lebesgue. Autres Théorèmes de convergence (Thm de convergence monotone, interversion série-intégrale). Intégrales à paramètres. (Fin du chapitre 1)

Cours du 11/02/2019 (2H): Complément du chapitre 1:Thm de Fubini. Chapitre 2:Définition de la convolution et de la transformée de Fourier dans le cas intégrable et le cas mesure (positive de masse finie). Exemple de la transformée de Fourier d'une gaussienne et des masses de Dirac. Convolution avec une masse de Dirac. Propriétés de la convolution. Exemples de régularisations par convolution (sections 1 et 2).

Cours du 25/02/2019 (2H): Fin du chapitre 3: Propriétés de la transformée de Fourier, exemple des gaussiennes, Lemme de Riemann Lebesgue, Formule d'inversion de Fourier, Théorème de Parseval, Application à la résolution de l'équation de la chaleur.

Cours du 4/03/2019 (2H): Transformation de Laplace: Définition, Formules calculatoires (linéarité, retard fréquentiel, dérivée, multiplication par t, convolution). Exemples de référence. Inversion de la transformée de Laplace en pratique pour les fonctions rationnelles. Premier Exemple d'application à la résolution d'équations différentielles.

Cours du 11/03/2019 (2H): Méthode de résolution d'equations différentielles ordinaires dans les cas du 1ère ordre et du 2ème ordre. (1 exemple dans chaque cas). Théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finales avec exemples sur les fonctions de références. Début du chapitre 4. Motivation: Dipôle. Définitions et exemples (Masse de Dirac, Fonctions localement intégrables, nous n'avons pas vu le peigne de Dirac, repoussé la semaine prochaine). Définition de la dérivation (motivation dans le cas des fonctions dérivables à partir de l'intégration par partie).

Cours du 18/03/2019 (2H): Autre exemple (Peigne de Dirac). Définition du produit d'une distribution par une fonction lisse. Exemples de dérivation (dont dérivée de la fonction de Heaviside) et de produit. Dérivée d'un produit et formule de dérivation pour une fonction C1 par morceau. Primitive de distributions (enoncé sans preuve de l'existence et de l'unicité à constante près). Résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre 1 (méthode et un exemple). Limites de distributions (Définition, rappel du cas des masses de Dirac, exemples: définition de la valeur principale de 1/x et formule en terme de dérivée du prolongement paire du logarithme) (les autres exemples de limites ont été énoncé comme exercice ou théorème sans détail).

Cours du 25/03/2019 (2H): Impossibilité du Produit de distributions (exemple de l'impossibilité du carré d'une masse de Dirac). Distributions à support compact (exemple des masses de Dirac et des fonctions à supports compacts). Définition du Produit de convolutions de distributions: cas d'une fonction test et d'une distribution puis cas d'une distribution à support compact et d'une distribution. On a insisté sur les formules clés: Dérivation, Convolution des T_f entre eux, Convolution avec une masse de Dirac. Application à la résolution de l'équation u''+p^2u=T avec p constant. Définition de la transformée de Fourier de distributions à support compact avec formule pour produit par x et pour dérivée et solution élémentaire de l'équation des ondes. Commentaire sur les transformée de Fourier de 1 et de x en parlant très brièvement du cadre des distributiosn tempérées (sans les définir précisément). (Fin du chapitre 4)

Cours du 01/04/2019 (2H): Chapitre 5: Rappel sur les nombres complexes. Définition d'une fonction holomorphe et formule de Cauchy-Riemann (pour vérifier qu'une fonction n'est PAS holomorphe). Exemples de fonctions NON-holomorphe (partie réelle et adjoint). Exemples de fonctions holomorphes (polynomes, inverse, somme de séries, exponentielle, cosinus, sinus, Logarithme principal et détermination principale de la racine n-ième). Formules pour les dérivées des sommes, produits, composées et théorème fondamental de l'analyse complexe. Définition d'un chemin et d'un lacet (et exemples de paramétrisations simple) Définition de l'intégrale le long d'un chemin et premier exemple.

Cours du 08/04/2019 (2H). Formule de Chasles et Théorème de reparamétrisation. Primitives des fonctions holomorphes: exemples de bases, et existence sur un ouvert étoilé. Théorème de Cauchy (Ex détaillé: application au calcul de l'intégrale de Fresnel). Lacet simple et formule de Cauchy. Développement en série entière d'une fonction holomorphe.

Evaluation

3 Contrôles continus de 1 heure (chacun coeff 1) et un controle final (coeff 2).

Le CC1 aura lieu le 25 février de 8h30 à 9h30 suivi du cours 10H-12H. (Si vous avez un tiers-temps, le CC commence à 8h10)

Programme : Tout le chapitre 1 du cours + Exos des TDs 1 et 2 Sujet et sa Correction.

Le CC2 aura lieu le 18 mars de 8H30 à 9H30. (Si vous avez un tiers-temps, le CC commence à 8h30 comme pour les autres) Sujet et sa Correction.

Le CC3 aura lieu le 8 avril de 8H30 à 9H30 2 salles:

Si votre nom commence par une lettre de A à G: Amphi Déambulatoire 3

Si votre nom commence par une lettre de H à Z: Amphi Déambulatoire 2

Programme : Tous les chapitres 3 et 4 du cours + Exos des TDs 5 et partie du TD 6 ( jusqu'au TD du 2 avril commun à tous les groupes c'est-à-dire les questions sans (*) des exos 1,2 et 5 du TD 6).

Vous aurez droit au formulaire suivant
(qui sera distribué avec le sujet) (disponible ici) Sujet et sa Correction.

L'examen aura lieu le vendredi 24/05/2019 de 10H à 12h dans les Amphis Déambulatoire de 2 à 5.

Programme : Tous les chapitres du cours sauf le chapitre 1 + Exos de tous les TDs (avec au moins la moitié sur la fin du chapitre 4 et le chapitre 5).

Vous aurez droit au formulaire suivant
(qui sera distribué avec le sujet) (disponible ici) Sujet et sa Correction.

La Consultation des copies aura lieu le Jeudi 6 juin de 12H à 13H30 en amphi Jordan.

L'examen de deuxième session aura lieu le mercredi 26 juin à 8H en Amphi Thémis 11.