Probabilités discrètes et statistiques descriptives, Printemps 2019

Horaires

Cours : En général :le mardi de 8H à 9h30 et le jeudi de 15h45 à 17h15. Salles variables (cf ADE).
Changements: Pas de Cours le Jeudi 28 février.
TD : au début le mardi de 9h45 à 13h. (changements à partir d'avril en fonctions des TPs)

Grp A (avec Anne Perrut) .
Grp B (avec Jérôme Germoni).
Grp C (avec Martin Legras).

Attention, vous pouvez être dans les TDs B ou C et être dans les groupes TP A2 ou A3.

Grp A1 (avec Anne Perrut en Ariane 06) jeudi 14 mars, 11 avril et 25 avril: de 14H à 16H.
Grp A2 (avec Anne Perrut en Ariane 06 en mars puis Ariane 05 en avril) jeudi 14 mars de 16H15 à 18H15, et mardi 9 avril et 23 avril: de 9H15 à 11H15 (suivi du TD de 11H30 à 13H).
Grp A3 (avec Yoann Dabrowski en Ariane 06 en mars puis Ariane 11 en avril) vendredi 15 mars et 5,12,26 avril: de 17H30 à 19H.
Grp B1 (avec Jérôme Germoni en Ariane 05) jeudi 14 mars, 11 avril et 25 avril: de 14H à 16H.
Grp B2 (avec Jérôme Germoni en Ariane 01) jeudi 14 mars de 16H15 à 18H15, et mardi 9 avril et 23 avril: de 9H15 à 11H15 (suivi du TD de 11H30 à 13H).
Grp C1 (avec Yoann Dabrowski en Ariane 04) jeudi 14 mars, 11 avril et 25 avril: de 14H à 16H.
Grp C2 (avec Yoann Dabrowski en Ariane 22) jeudi 14 mars de 16H15 à 18H15, et mardi 9 avril et 23 avril: de 9H15 à 11H15 (suivi du TD de 11H30 à 13H).

Cours

Le Programme officiel du cours est disponible ici.

Polycopié du cours de Probabilités : Cours presque complet (version du 19 mars: avec convention modifiée pour la définition de la médiane, et preuve ajoutée pour la formule de Poincaré)

Références bibliographiques:

Probabilités 1 pour licence et capes (Jean-Yves Ouvrard): le plus proche de ce cours.
Probabilités pour la Prepa (Paul Pichaureau): Encore proche du cours et plus détaillé.
Probabilités discrètes (JM et R Morvan) : petit livre avec exercices.
Initiations aux probabilités (S Ross) : un peu plus long, peut-être plus détaillé.
Statistique et probabilités (Lecoultre) : Un peu au dessus du niveau L2, mais ça reste lisible.
En complément pour les parties familles sommables et ensembles dénombrables, on pourra consulter la plupart des livres plus anciens de classe préparatoire, par exemple, ma référence préférée: Mathématique 2ème année, de Claude Deschamps et André Warusfel, Dunod 2001
Pour la partie de TP utilisant le logiciel R on peut se référer au livre :Le logiciel R : maîtriser le langage effectuer des analyses statistiques de Pierre Lafaye de Micheaux , Rémy Drouilhet et Benoit Liquet aux éditions Springer

(lien vers le ebook acheté par la BU de Lyon 1)

Avancement du cours:

Cours de 3H du 23/01/2019 : Cardinaux des ensembles finis. Cardinaux des unions, produits, ensembles de fonctions (et principe du berger). Dénombrement de base : arrangements.

Cours de 1H30 du 29/01/2019 : Rappels sur les sommes finies indicées par des ensembles. Dénombrement de base: permutations (formule de Stirling admise pour l'instant), combinaisons et rappel (triangle de Pascal et formule du binôme), arrangements avec répétition.

Cours de 1H30 du 31/01/2019 : Formule du multinôme, Nombre de combinaisons avec répétition, Base de probabilités sur un ensemble fini: notion de probabilité et de variable aléatoire sur un ensemble fini, loi d'une variable aléatoire. Exemple de la loi uniforme et lien à la combinatoire. Notion de variables aléatoires indépendantes. Espérance des variables aléatoires sur une espace de proba fini , linéarité de l'espérance (sans sa preuve pour l'instant, elle sera faite au chapitre 5) et théorème de transfert dans ce cadre (chapitre 1 section 5 jusqu'au Thm de transfert sans sa preuve, à faire mardi prochain).

Cours du 1H30 du 05/02/2019 : Preuve du théorème de transfert. Moments, variances et écart type des variables aléatoires sur une espace de proba fini. Exemple de lois: binomiale et hypergéométrique. Interprétation de la loi hypergéométrique. Chapitre 2: Types de variables statistiques (qualitatives nominale et ordinale, quantitatives discrète et continue) et leurs représentations graphiques (Diagrammes circulaire, en barre, en bâton, histogramme, diagrammes cumulatifs, mise en pratique dans R).

Cours du 1H30 du 07/02/2019 : Résumés numériques : Espérance, variance et fonction de répartition empirique. Médiane et quartile d'une variable aléatoire et d'un échantillon. Chapitre 3: Définition des ensembles au plus dénombrable, équivalence avec la propriété d'être fini ou dénombrable et en terme d'injection dans l'ensemble des entiers $\N$

Cours du 1H30 du 12/02/2019 : Equivalence des ensembles au plus dénombrable en terme de surjection provenant de $\N$. Stabilité des ensembles au plus dénombrables par union dénombrable et produit fini. Dénombrabilité des entiers relatifs et des rationnels. Non-dénombrabilité de l'ensemble des parties de $\N$ (par l'argument diagonal de Cantor) et de l'ensemble \R des réels (par injection de P(\N) vers l'ensemble triadique de Cantor). Définition des familles sommables à termes positifs et de leur somme. Dénombrabilité du support.

Cours de 1H30 du 14/02/2019: Relation de la sommabilité à la convergence d'une série, domination et invariance par permutation. Sommation par paquet et Thm de Fubini-Tonelli dans le cas à termes positifs, Exemple de la famille (1/(i+j)^2)_{i,j\in N^*}. Definition de la sommabilité à valeur complexe, espace vectoriel normé l^1(\N), definition de la somme et inégalité triangulaire correspondante. Sommation par paquet et Thm de Fubini dans le cas à termes complexes. (Fin du chapitre 3, section 4.2 reporté au chapitre 6)

Cours de 1H30 du 5/03/2019: Chapitre 3 Définition d'une tribu et d'une probabilité sur une tribu. Propriétés de base (dont Probabilité des unions croissantes et des intersections décroissantes, à partir de la sigma-additivité). Exemple d'une probabilité sur un espace dénombrable et premiers exemples: loi de Poisson, Loi de Poisson comme limite de lois binomiales (preuve laissée pour le TD), Lois géométriques. Chapitre 4: Probabilités conditionnelles dont formule de Bayes (avec preuve rapide et sans exemples pour l'instant, laissés pour jeudi). Indépendances de 2 et n évènements.

Cours de 1H30 du 07/03/2019 : Exemple pour la formule de Bayes. Retour sur l'interprétation de la loi géométrique en terme de suite de tirage de pile ou face indépendants. Application à la simulation des probabilités conditionnelles. Définition facultative d'une variable aléatoire sur un espace de probabilité général. Définition d'une v.a. discrète. Loi d'une v.a. discrète.

Cours de 1H30 du 19/03/2019 : Fonction de répartition (dessin et propriétés). Ex de calcul de la fonction de répartition d'une loi géométrique. Définition d'une variable d'ordre 1 et espace vectoriel L¹ sur un espace de probabilité dénombrable. Thm fondamental sur l'espérance (linéarité, monotonie,domination, cas indépendant) (Preuve complète sauf partie domination à finir jeudi).

Cours de 1H30 du 21/03/2019 : Fin de la preuve du théorème fondamental de l'espérance. Théorème de transfert pour les v.a.d. Caractérisation de l'independance de X et Y par absence de corrélations entre n'importe quelle fonction de X et fonction de Y. Moments, variance, écart type d'une v.a.d d'ordre 2. Couples de variables aléatoires discrètes. Théorème de transfert (admis pour les couples) et Covariance d'un couple de variables aléatoires.

Cours de 1H30 du 26/03/2019 : Inégalités de Markov et de Tchebychev. Loi faible des grands nombres. Enoncés de la loi forte des grands nombres. Fonction génératrice d'une v.a.d. Exemple de Fonction génératrice d'une v.a. géométrique. Chapitre 6: Fonction génératrice d'une v.a.d. Rappel du résultat de dérivation d'une série entière. Exemple du calcul de l'espérance d'une v.a. entière par dérivation de la série génératrice. (Cas concret des variables géométrique à faire jeudi)

Cours de 1H30 du 28/03/2019 : Méthode de calculs de moments avec les Fonctions génératrices (cas des v.a. d'ordre 1 et cas des fonctions génératrice de rayon de convergence R>1 pour les moments d'ordre 1 et 2). Moments d'ordres 1 et 2 des v.a. géométriques. Calcul de la loi d'une somme de v.a. de Poisson par la méthode des fonctions génératrices. Chapitre 8: Introduction. Définition de la densité et des v.a. continues. Exemples incluant lois uniformes, normales, exponentielles, de Cauchy et semicirculaire (avec calcul des constantes de normalisation pour que ce soient des densités). Théorème de transfert des v.a.c (admis). Fonction de répartition, espérance et variance des v.a. continues. Enoncé du théorème de Moivre-Laplace

Cours de 1H30 du 04/04/2019: Chapitre 9 de Statistique : Analyse en composantes Principales (en particulier notion de covariance et corrélation empirique). Intervalle de confiance exact pour le paramètre d'une Bernoulli par inégalité de Tchebychev. Intervalle de confiance assymptotique par Moivre Laplace.

Cours de 1H30 du 11/04/2019 : Chapitre 10: Preuve de la formule de Stirling. Théorème de Moivre-Laplace (preuve en admettant le Thm de limite locale montré dans le polycopié, dont je n'ai donné que le début de preuve et l'idée en cours). Enoncés du Théorème central limite.

Evaluation

2 Contrôles continus de 1H15 (chacun coeff 5), un TP en temps libre donné la semaine du deuxième TP à rendre début mai (coeff 2) et un examen final de 2H (coeff 8) (ayant une session de rattrapage).

Les absences justifiées à un CC donneront lieu à un CC de rattrapage la semaine du 30 avril (on rappelle qu'un justificatif doit être apporté au Quai 43, SOUS 8 JOURS, ET au responsable d'UE).

Le CC1 aura lieu le 26/02 de 8H10 à 9H25 (durée 1H15) Les étudiants ayant un tiers-temps débutent à 7H45. Programme : Questions de Cours (Programme : Tout le chapitre 1)+ Exos jusqu'au TD du mardi 12/02 inclus: soit feuilles de TDs 1 et 2. Sujet et sa Correction (proposée par Jérôme Germoni).

Le CC2 aura lieu le 2/04 de 8H10 à 9H25 (durée 1H15) Programme : Questions de Cours

Toutes les définitions (sauf parties facultatives) des chapitre 4,5,6 et La liste des grands résultats des chapitres 3,4,5 et 6: Chap 3 Prop 28+Thm 31 (exemples d'ensembles dénombrables ou non), Thms de sommations par paquet et de Fubini (Thms 34,35,38,39), Chap 4: Prop 4.3 et lois usuelles de la section 6.3 (et leurs espérances vues en TDs), Chap 5: Prop 46 (des probabilités totales),47(formule de Bayes), Defs de l'indépendance Def 41,42; Chp 6:Def de l'espérance Def 55, Prop de base de l'espérance Prop 51, Thm de transfert 52)

+ Exercices jusqu'au TD du mardi 26/03 inclus: soit TD 3,4,5.

Sujet et sa Correction (proposée en grande partie par Jérôme Germoni).

L'examen aura surement lieu le jeudi 23 mai 2019 de 14H à 16H en amphis Thémis 7 ou Thémis 8. Programme : Exos (tous les TDs)+ Questions de Cours (Programme du CC2 + programme complémentaire suivant:

chap 6 Propriétés de la variance (Prop 55), Inégalités de Markov (Prop 56) et de Tchebychev (Prop 57) Loi faible des grands nombres (Thm 58)

chapitre 8: lois continus usuelles (dont résultat de l'exo du TD 7), Thm de Moivre laplace (Thm 67).

chap 9: covariance et corrélations empiriques (Def 72) + Exemples 61 et 62 d'intervalles de confiances

chap 10: formule de Stirling (lemme 75)

+ le programme du CC2 à savoir: Toutes les définitions (sauf parties facultatives) des chapitre 4,5,6 et La liste des grands résultats des chapitres 3,4,5 et 6: Chap 3 Prop 28+Thm 31 (exemples d'ensembles dénombrables ou non), Thms de sommations par paquet et de Fubini (Thms 34,35,38,39), Chap 4: Prop 4.3 et lois usuelles de la section 6.3 (et leurs espérances vues en TDs), Chap 5: Prop 46 (des probabilités totales),47(formule de Bayes), Defs de l'indépendance Def 41,42; Chp 6:Def de l'espérance Def 55, Prop de base de l'espérance Prop 51, Thm de transfert 52) )

La Consultation des copies aura lieu le Jeudi 6 juin de 12H à 13H30 en amphi Jordan. Sujet et sa Correction.

L'examen de deuxième session est prévu le vendredi 28 juin 2019 de 11h à 12h 30 en amphi Ampère. Programme : Pas de Questions de cours. Même programme pour les exos qu'à l'examen de première Session : sur tous les TDs.

Feuilles d'exercices et de TP

Feuille 1

Feuille 2

Feuille 4

Feuille de TP 1( Correction)

Feuille de TP 2 (Correction et Ancienne version)

Feuille de TP 3 (Correction et Ancienne version)

Contrôles Continus des années passées.

(L'ordre du cours n'était pas le même en 2017, ni en 2018, les CCs sont donnés à titre indicatif et le programme de chaque CC n'était donc pas le même).

CC1 2017.

CC2 2017

Examen 2017.

CC1 2018 et sa Correction.

CC2 2018 et sa Correction

CCF 2018 et sa Correction.