Probabilités discrètes et statistiques descriptives, Printemps 2020

Références bibliographiques:

• Probabilités 1 pour licence et capes (Jean-Yves Ouvrard): le plus proche de ce cours.
• Probabilités pour la Prepa (Paul Pichaureau): Encore proche du cours et plus détaillé.
• Probabilités discrètes (JM et R Morvan) : petit livre avec exercices.
• Initiations aux probabilités (S Ross) : un peu plus long, peut-être plus détaillé.
• Statistique et probabilités (Lecoultre) : Un peu au dessus du niveau L2, mais ça reste lisible.
• En complément pour les parties familles sommables et ensembles dénombrables, on pourra consulter la plupart des livres plus anciens de classe préparatoire, par exemple, ma référence préférée: Mathématique 2ème année, de Claude Deschamps et André Warusfel, Dunod 2001
• Pour la partie de TP utilisant le langage Python, on peut se référer pour une introduction au lien suivant (mais il ne couvre pas notre programme, cf polycopié du cours): Cours d'introduction à la programmation en Python Pour un TP d'introduction, on pourra aussi consulter ce lien (ou la sauvegarde du lien).

  Avancement du cours:

• Cours de 3H du 21/01/2020 : Cardinaux des ensembles finis. Rappels sur les sommes finies indicées par des ensembles (sommation par paquet fini et interversion de sommes finies). Cardinaux des unions, produit et principe du berger.
• Cours de 1H30 du 28/01/2020 : Cardinal de l'ensemble des applications entre ensembles finis. Dénombrement de base: arrangements, permutations (formule de Stirling admise pour l'instant), combinaisons et rappels (triangle de Pascal et formule du binôme), arrangements avec répétition. (définition et calcul de leur nombre par le coefficient multinomial).
• 2 Cours de 1H30 du 30/01/2020 : Formule du multinôme, Base de probabilités sur un ensemble fini: notion de probabilité et de variable aléatoire sur un ensemble fini, loi d'une variable aléatoire. Exemple de la loi uniforme et lien à la combinatoire (incluant la reformulation en terme d'expériences aléatoires du Principe des bergers). Espérance des variables aléatoires sur une espace de proba fini , linéarité de l'espérance et théorème de transfert dans ce cadre (avec preuve). Fin du chapitre 1 reporté à la semaine prochaine) Chapitre 2: Types de variables statistiques (qualitatives nominale et ordinale, quantitatives discrète et continue) et leurs représentations graphiques (Diagrammes circulaire, en barre, en bâton, histogramme, diagrammes cumulatifs, mise en pratique en python). Résumés numériques : Espérance, variance et fonction de répartition empirique. Médiane et quartile d'une variable aléatoire et d'un échantillon.
• Cours du 1H30 du 04/02/2020 : Diagrammes à Moustache. Un exemple. Notion de variables aléatoires indépendantes (exemple d'une paire de dés). Moments, variances et écart type des variables aléatoires sur un espace de proba fini. Exemples de lois: uniforme, binomiale et hypergéométrique. Calcul de l'espérance pour la loi uniforme et la loi binomiale. Interprétation de la loi hypergéométrique. Chapitre 3: Définition des ensembles dénombrable et au plus dénombrable, en terme d'injection dans l'ensemble des entiers $\N$ . Equivalence des ensembles au plus dénombrable en terme de surjection provenant de $\N$. Énoncé de l'équivalence avec la propriété d'être fini ou dénombrable (preuve à faire la semaine prochaine).
• Cours du 1H30 du 11/02/2020 : Preuve du théorème de l'équivalence entre au plus dénombrable et (fini ou dénombrable). Stabilité des ensembles au plus dénombrables par union dénombrable et produit fini. Dénombrabilité des entiers relatifs et des rationnels.
• Cours de 1H30 du 13/02/2020: Ensembles non-dénombrables. Non-dénombrabilité de l'ensemble des parties de $\N$ (par l'argument diagonal de Cantor) et de l'ensemble \R des réels (par injection de P(\N) vers l'ensemble triadique de Cantor). Définition des familles sommables à termes positifs et de leur somme. Dénombrabilité du support. Relation de la sommabilité à la convergence d'une série, domination et invariance par permutation. Thm de Sommation par paquet dans le cas à termes positifs (avec juste la première moitié de la preuve, à finir mardi prochain).
• Cours de 1H30 du 18/02/2020: Fin de la preuve Thm de Sommation par paquet dans le cas à termes positifs. Thm de Fubini-Tonelli dans le cas à termes positifs. Exemple de la famille (1/(1+i+j)^2)_{i,j\in N} Definition de la sommabilité à valeur complexe, espace vectoriel normé l^1(\N,\K), definition de la somme et inégalité triangulaire correspondante. Sommation par paquet dans le cas à termes complexes. Exemple du produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes.
• Cours de 1H30 du 20/02/2020: Thm de Fubini pour l'interversion des sommes. Aperçu du cours d'analyse 4 sur les séries entières. Formule de D'Alembert pour le rayon de convergence. Exemples usuels (incluant série de l'exponentiel et série géométrique). Rappel du résultat de dérivation d'une série entière. Exemple du calcul de ce qui sera l'espérance d'une variable géométrique (à normalisation prêt). Chapitre 4 Définition d'une tribu d'évènements et d'une probabilité sur une tribu. Propriétés de base (dont Probabilité des unions croissantes et des intersections décroissantes, dont preuve à partir de la sigma-additivité. Enoncé de la formule du crible sans preuve à lire dans le polycopié).
• Cours de 1H30 du 27/02/2020: Exemple d'une probabilité sur un espace dénombrable et premiers exemples: loi de Poisson, Loi de Poisson comme limite de lois binomiales (preuve laissée pour le TD), Lois géométriques. Chapitre 5: Probabilités conditionnelles. (Exemple des probabilités uniformes sur un ensemble fini) Formule des probabilités totales et formule de Bayes (avec preuve rapide et sans exemples pour l'instant, laissés pour la rentrée).
• Cours (à distance) de 1H30 du 19/03/2020 :Fin du chapitre 5: Indépendances de 2 et n évènements. Retour sur l'interprétation de la loi géométrique en terme de suite de tirage de pile ou face indépendants. Application à la simulation des probabilités conditionnelles. Chapitre 6: Notion de Variable aléatoire discrète et de sa loi. Fonction de répartition (dessin et propriétés). Ex de calcul de la fonction de répartition d'une loi géométrique. Compléments sur la vidéo en différé : Définition facultative d'une variable aléatoire sur un espace de probabilité général. Discussion des suites de v.a.d indépendantes.
• Cours (à distance) de 1H30 du 24/03/2020 : Définition d'une variable d'ordre 1. Thm fondamental sur l'espérance dans le cas dénmbrable (linéarité, monotonie,domination, cas indépendant). Théorème de transfert pour les v.a.d. Caractérisation de l'independance de X et Y par absence de corrélations entre n'importe quelle fonction de X et fonction de Y. Couples de variables aléatoires discrètes. Théorème de transfert (admis pour les couples). Exemple de table de contingence.
• Cours (à distance) de 1H30 du 26/03/2020 : Covariance d'un couple de variables aléatoires et propriétés de la variance: En particulier, additivité de la variance dans le cas décorélé (en particulier dans le cas indépendant). Inégalités de Markov et de Tchebychev. Loi faible des grands nombres. Enoncés de la loi forte des grands nombres. Fonction génératrice d'une v.a.d. Exemple de Fonction génératrice d'une v.a. géométrique. Utilisation du résultat de dérivation d'une série entière revue au chap 3. Méthode de calculs de moments avec les Fonctions génératrices (cas des v.a. d'ordre 1 pour R=1 et cas des fonctions génératrices de rayon de convergence R>1 pour les moments d'ordre 1 et 2). Moments d'ordres 1 et 2 des v.agéométriques. Calcul de la loi d'une somme de v.a. de Poisson indépendantes par la méthode des fonctions génératrices.
• Cours (à distance) de 1H30 du 31/03/2020 Chapitre 7: Introduction. Définition de la densité et des v.a. continues. Exemples incluant lois uniformes, normales, exponentielles, de Cauchy (avec calcul des constantes de normalisation pour que ce soient des densités). Théorème de transfert des v.a.c (admis). Fonction de répartition, espérance (exemple des lois uniformes, exponentielles et normales) et variance (ex des lois normales) des v.a. continues.

  Evaluation

  Calcul de moyenne modifié (cf. mail du 17 avril) après le confinement (adopté à la CFVU de fin avril):
  
  CC1: 30%+ DM1 : 20% + DM2: 25% + QCM final : 25%
  
  Il est possible de garder les notes de TP de l'année dernière pour les redoublants (cela remplace un DM pour 20%).
  
  
• Le CC1 aura lieu le 25/02 de 8H10 à 9H25 (durée 1H15) en amphi Déambulatoire 1 ou 3.Les étudiants ayant un tiers-temps qui composent en Déambulatoire 1 débutent à 7H45. Les calculatrices les téléphones et les documents sont interdits (à l'exception des dictionnaires de langues pour les étudiants étrangers, après contrôle du dictionnaire par le surveillant). Programme : Questions de Cours (Programme : Tout le chapitre 1)+ Exos jusqu'au TD du mardi 11/02 inclus: soit feuilles de TD 1 et TD 2 ex 1,2,3. Sujet et la Correction de la partie 1 (proposée par Élise Fouassier).
• Le CC2 prévu le 31/03 est annulé. Son éventuel remplacement ou report sera discuté ultèrieurement.
  Evaluation à distance
  : Vous aurez 2 DMs le 2 avril à rendre le 14 avril et le 22 avril à rendre le 5 mai sur Tomuss. Le sujet du premier DM à rendre le 14 avril est disponible sur CLaroline et ici. Le sujet du deuxième DM à rendre le 5 mai est disponible sur Claroline et ici



• L'examen (QCM à distance) aura lieu le jeudi 28 mai, de 14H à 15H30 (plus tiers-temps éventuel, sujet en PDF et dépôt sur Tomuss). Le QCM de préparation aura lieu le mardi 19 mai de 9H30 à 11H (sujet et dépôt sur Tomuss).
  
  Vous avez 10 minutes de dépôt sur Tomuss. L'heure de fin de votre dépôt (prenant en compte le tiers-temps éventuel) est indiquée sur Tomuss dans une colonne FinDepotCCT. Au delà, il sera appliqué une pénalité de 0,2 points par minute de retard (heure de dépôt Tomuss ou de réception du mail envoyé depuis la messagerie étudiante faisant fois).
  
  
  
  Programme: Exercices sur les chapitres du cours 2.2, 4 à 7 et 8.2. Au niveau TD, cela correspond à la partie statistique du TD 3 et aux TDs 4 à 7 (pour le TD 7 seulement les exercices 1 à 4).
  
  Les calculatrices et les documents sont autorisés.
  
  Le sujet sera dans un fichier PDF éditable. Un exemple de sujet (avec des questions du CC1) est ici.



• Des instructions et conseils sont dans le fichier et ci-dessous: Enregistrer le fichier, puis le remplir en utilisant par exemple
  
  
  Xodo sous Android,
  
  
  
  Evince, Gimp ou Okular sous Linux (version récente par exemple Ubuntu 19.04 ou ultérieur),
  
  
  
  Preview sous Mac,
  
  
  
  Adobe AcrobatReader ou PDFElement sous Windows.
  
  
  Ne surtout PAS utiliser la visionneuse pdf de votre navigateur web, vous ne pourrez pas enregistrer vos réponses. N’oubliez pas d’enregistrer à nouveau le fichier avec vos réponses avant de téléverser sur Tomuss/rendre votre copie. Pas besoin d’imprimer et scanner ou photographier. Vérifier bien que vos réponses sont visibles après dépôt sur Tomuss (si non envoyer par mail ou recharger le fichier).

Feuilles d'exercices

• Feuille 1
• Feuille 2
• Feuille 3
• Feuille 4
• Feuille 5
• Feuille 6
• Feuille 7

Feuilles de TP sous Python

• Feuille de TP 1

  Feuilles de TP de l'an dernier (sous R)

• Feuille de TP 1( Correction)
• Feuille de TP 2 (Correction et Ancienne version)
• Feuille de TP 3 (Correction et Ancienne version)

Contrôles Continus des années passées.

(L'ordre du cours n'était pas le même en 2017, ni en 2018, les CCs sont donnés à titre indicatif et le programme de chaque CC n'était donc pas le même).
• CC1 2017.
• CC2 2017
• Examen 2017.
• CC1 2018 et sa Correction.
• CC2 2018 et sa Correction
• CCF 2018 et sa Correction.
• CC1 2019 et sa Correction (proposée par Jérôme Germoni).
• CC2 2019 et sa Correction (proposée en grande partie par Jérôme Germoni).

Contact

Je vous invite à consulter régulièrement cette page, mise à jour régulièrement, pour en savoir plus.

N'hésitez pas à me contacter par e-mail.

mèl : dabrowski at math . univ-lyon1 . fr

Page web du cours de l'an dernier

La page de l'an dernier (cliquer ici)