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1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
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50 |
La calculatrice ne peut afficher que des nombres de la forme 7a + 5b (a et b entiers naturels).
La question sous-entend qu'on peut afficher tous les nombres à partir d'un certain rang (ici dans les limites d'affichage de la calculatrice.) Ce fait n'est en rien évident, et la présence d'une négation dans l'énoncé ajoute à la difficulté, ce qui fait que les élèves auront besoin d'un temps d'appropriation qui peut être important. Il ne faut pas faire l'économie de ce temps de recherche un peu erratique où les élèves semblent chercher un autre problème. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Une première approche On range les premiers nombres entiers selon leur reste dans la division par 5.
Dans la seconde colonne, on peut afficher tous les nombres à partir de 21, ce sont les nombres de la forme 3x7 + nx5. ... Et ainsi de suite. Il y a donc seulement 13 nombres que la calculatrice de Léo ne peut pas afficher. Le plus grand est 23. |
Une autre ...
On considère les sommes de 2, 3, 4 nombres etc.
Dans les colonnes suivantes du tableau, on aura, pour un nombre impair de termes tous les impairs de 25 à 35, tous les impairs de 35 à 49, tous les impairs de 45 à 63, ... , et pour un nombre pair de termes, tous les pairs de 30 à 42, tous les pairs de 40 à 56, tous les pairs de 50 à 70, ... , A partir de 24, tous les nombres peuvent donc être atteints. Le plus grand nombre que Léo ne peut afficher est 23. Cette approche fournit deux solutions pour certains nombres. Exemple : 47, avant-dernier dans les sommes de 7 termes (5 + 6x7), deuxième dans les sommes de 8 termes (8x5+7). |
... et encore une autre. Les élèves peuvent avoir l'idée de rechercher systématiquement toutes les sommes possibles en ajoutant un multiple de 5 à un multiple de 7 ce qui peut conduire au tableau ci-dessous.
L'observation de ce tableau ( en particulier en le parcourant en diagonale) fait apparaitre de nombreux « trous » jusqu'à celui du nombre 23. Comment se convaincre que c'est le plus grand ? On trouve dans le tableau 24, 25, 26, 27, 28. Or en rajoutant 5 à chacun de ces nombres on trouve 29, 30, 31, 32, 33 et en rajoutant 5 à cette nouvelle série les cinq entiers suivants et en rajoutant 5...etc. On trouve donc dans le tableau tous les entiers à partir de 24. On peut faire remarquer aux élèves qu'on utilise ici une propriété très générale : si l'on a une liste de n entiers consécutifs, on peut obtenir tous les entiers suivants en ajoutant un multiple de n aux entiers de la liste. |
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