Math 4 Printemps 2020, Séquence 1

Horaires

Cours : le lundi matin en Thémis 9 (sauf les semaines de CCs en amphi ASTREE 13). ATTENTION, deux horaires alternent de 9h45 à 13H (avec une pause d'un quart d'heure entre 11h15 et 11H30) OU de 11H30 à 13H. Premier cours: le lundi 20 janvier 2019 de 09H45 à 13H

TD : le mardi de 14h à 17h15 à partir du 28 janvier, les groupes sont sur Tomuss et les salles seront sur ADE (attention les salles peuvent changer).

Grp A (avec Fabien Vignes-Tourneret): en Thémis 63 (sauf le 10/02 en Thémis 62).

Grp B (avec Marina Poulet): en Thémis 57.

Grp C (avec Benjamin Texier): en Thémis 54 (sauf le 10/02 en Thémis 56).

Grp D (avec Valérie Dos Santos Martins): en Thémis 49 (sauf le 31/03 en Thémis 48).

Cours

Le Programme officiel du cours est disponible ici.

Polycopié du cours :Cours complet (sans les exercices corrigés en Amphi)

Autres références allant au delà du niveau de ce cours:

Éléments de mathématiques pour la physique et la chimie. par Maurice Kléber, 2014. Notre cours contient la moitié des chapitres 1,3,4,5& 9.

Méthodes mathématiques pour les sciences physiques par Laurent Schwartz, aux éditions Hermann (plus difficile que le cours précédent)

Formulaire complet

Vous aurez droit au formulaire suivant à l'examen
ou à la partie concernant chaque CC aux CCs (Il sera distribué avec le sujet) (disponible ici)

Progression

(complétée au fur et à mesure de l'avancement)

Cours du 20/01/2020 (3H): Présentation, Rappels sur les primitives. Relations de comparaison (d'abord en l'infini puis en a dans [- ∞,+∞]): domination, négligeabilité (notations de Landau), équivalents. Relations aux sommes et aux produits, fonctions équivalentes à une constante non nulle et limite. Rappel des développements limités usuels en 0 (et des équivalents associés). Exemple d'un calcul d'un équivalent d'une somme par la méthode des développements limités. Intégrales impropres: Définition, Exemples de référence (intégrales de Riemann en +∞ et 0), Thm de comparaison I.

Cours du 27/01/2020 (1H30): Thm de comparaison II (avec exo). Méthode d'intégration par partie sur l'intégrale de Fresnel. Définition des mesures (exemple des mesures de Dirac, des mesures à densités continues, de la mesure uniforme sur le cercle unité), Masse de Dirac comme limite de fonctions bosses.

Cours du 03/02/2020 (3H): Propriétés de l'Intégrale de Lebesgue. Intégrales à paramètres. Thm de continuité et thm de dérivations successives avec condition de domination. Ex de la transformée de fourier générale (continuité dans le cas intégrable) et pour une gaussienne (calcul explicite par équation différentielle). (Fin du chapitre 1) Complément du chapitre 1:Thm de Fubini. Chapitre 2: Transformation de Laplace: Définition, Formules calculatoires (linéarité, retard fréquentiel, dérivée, multiplication par t, convolution, avec toutes les démos sauf celle pour la convolution). Exemples de référence. Inversion de la transformée de Laplace en pratique pour les fonctions rationnelles. Rappel sur la décomposition en éléments simples complexes (version réelle la semaine prochaine).

Cours du 10/02/2020 (1H30): Rappel sur la décomposition en éléments simples réelle. Inversion de la transformée de Laplace en pratique pour les fonctions rationnelles. (Un exemple détaillé avec la décomposition réelle) Méthode de résolution d'equations différentielles ordinaires dans les cas du 1ère ordre et du 2ème ordre. (1 exemple dans chaque cas). Théorèmes de la valeur initiale et de la valeur finale avec un exemple sur les fonctions de références.

Cours du 17/02/2020 (3H): Chapitre 3:Définition de la convolution et de la transformée de Fourier dans le cas intégrable et le cas mesure (positive de masse finie). Exemple de la transformée de Fourier d'une gaussienne et des masses de Dirac. Convolution avec une masse de Dirac. Propriétés de la convolution. Exemples de régularisations par convolution. Propriétés de la transformée de Fourier, exemple des gaussiennes, Formule d'inversion de Fourier. (sections 1, 2, 3.1,3.2 et 3.4)

Cours du 24/02/2020 (1H30): Fin du chapitre 3: Exemple d'application de la Formule d'inversion de Fourier (exo 20 pour calculer la transformée de Fourier d'une fonction lorentzienne) Lemme de Riemann Lebesgue (sans preuve), Théorème de Plancherel-Parseval (exemple des gaussiennes et lorentzienne), Application à la résolution de l'équation de la chaleur. Début du chapitre 4. Motivation: Dipôle. Définition d'une distribution.

Cours du 09/03/2020 (3H) Exemples (Masse de Dirac, Fonctions continues par morceaux, peigne de Dirac, mesures positives). Définition de la dérivation (motivation dans le cas des fonctions dérivables à partir de l'intégration par partie). Définition du produit d'une distribution par une fonction lisse. Exemples de dérivations (dont dérivée de la fonction de Heaviside) et du produit par une masse de Dirac. Dérivée d'un produit et formule de dérivation pour une fonction C¹ par morceau. Primitive de distributions (enoncé avec preuve de l'existence et sans preuve de l'unicité à constante près). Résolution d'équations différentielles linéaires d'ordre 1 (méthode et un exemple). Définition du Produit de convolutions de distributions: cas d'une fonction test et d'une distribution puis cas d'une distribution à support compact et d'une distribution. On a insisté sur les formules clés: Dérivation, Convolution des T_f entre eux, Convolution avec une masse de Dirac. Application à la résolution de l'équation u''+p^2u=T avec p constant.

Cours à distance disponible sur Claroline ici

Cours du 23/03/2020 (première 1H30): Limites de distributions (Définition, rappel du cas des masses de Dirac, exemples: définition de la valeur principale de 1/x. Impossibilité du Produit de distributions (exemple de l'impossibilité du carré d'une masse de Dirac). Distributions à support compact (exemple des masses de Dirac et des fonctions à supports compacts). Définition de la transformée de Fourier de distributions à support compact, formule pour produit avec x et pour dérivée. Solution élémentaire de l'équation des ondes. (Fin du chapitre 4)

Cours du 23/03/2020 (deuxième 1H30): Chapitre 5: Rappel sur les nombres complexes. Définition d'une fonction holomorphe et formule de Cauchy-Riemann (pour vérifier qu'une fonction n'est PAS holomorphe). Exemples de fonctions NON-holomorphe (partie réelle et adjoint). Exemples de fonctions holomorphes (polynomes, inverse, somme de séries, exponentielle, cosinus, sinus, Logarithme principal et détermination principale de la racine n-ième). Formules pour les dérivées des sommes, produits, composées et théorème fondamental de l'analyse complexe. Définition d'un chemin et d'un lacet (et exemples de paramétrisations simple) Définition de l'intégrale le long d'un chemin et premier exemple.

Evaluation

(Version rectifiée du 17 avril due au confinement)
QCM1 (30 minutes en présentiel 25%)+ QCM2 (30 min à distance 15%) + QCM3 (1H à distance 20%) + QCM CT1 (1H à distance 20%)+ QCM CT2 (1H à distance 20%).

Le QCM 1 aura lieu le 25 février dans chaque TD de 14H à 14H30. Programme : Cours Chapitre 1 et TD1 et 2.
Un sujet de Préparation 1 est disponible avec son Corrigé, ainsi qu'un second sujet de Préparation 2 (avec son Corrigé). Les questions du QCM noté seront différentes, les sujets de préparation sont des entraînements. Il est conseillé de poser des questions en TD entre les deux préparations.

Le CC1 est définitivement ANNULÉ, en raison de la fermeture de l'université le 16 mars 2020.

Le QCM2 a eu lieu le 6 avril de 10H30 à 11H sur Tomuss.

Le QCM3 aura lieu le 20 avril de 10H à 11H sur Tomuss. Programme annoncé par mail TD4,5+ TD6 ex 1 et 2.

Le QCM CT1 aura lieu le lundi 18 mai de 10H à 11H sur Tomuss.

Il portera sur la fin du cours chapitre 4 et 5 et les TDs correspondant (TD 6,7,8). Un QCM d'entraînement est disponible Sujet ET Corrigé(Autre version imprimée non éditable ici). Les explications sur les réponses sont dans le corrigé (des exercices 3 et 4) de l'examen de l'an dernier ici. ATTENTION: Il ne suffit pas de réussir ce sujet d'entraînement pour avoir la note maximale à l'examen, certaines questions de l'examen porteront sur des compétences vues en TD et en cours (au programme) différentes de ce QCM d'entraînement. Par contre, ce QCM d'entraînement interroge toutes les compétences fondamentales et le réussir devrait largement suffir pour avoir bien plus que la moyenne.

Le QCM CT2 aura lieu le lundi 25 mai de 10H à 11H sur Tomuss.

Il portera sur les chapitres 1 à 3 et les TDs correspondant (TD 1 à 5). Les QCM 1,2,3 peuvent servir d'entraînement.