MathEco Proba 5, Printemps 2019

Horaires

Cours : le mercredi de 14h à 16H (sauf 1er cours de 11H30 à 13H30 et les semaines avec CC de 15h45 à 17h15).

1er cours Salle Thémis 58 le 23 janvier de 11H30 à 13h30.

TD groupe A (avec Yoann DABROWSKI) mercredi 11H30-13H et 16H15-17H45. (sauf semaines de CC, voir ADE)

Changement: mercredi 3 avril le TD de 11H30 à 13H est remplacé par un cours en salle Thémis 70.

TD groupe B (avec Christophe POQUET) mercredi 9H45-13H.

Cours

Polycopié du cours :Cours complet.

Références: Un bon cours avec exercices est le cours de Probabilités L3-M1 de Barbes et Ledoux. Pour la simulation, on pourra se référer au cours de Bercu et Chafai Modélisation stochastique

Cours du 23/01/2019 : Rappels sur les vecteurs aléatoires: Thm* de transfert, lemme de Doob-Dynkin, Thm* d'inversion de Fourier (p1-5 du poly)

Cours du 30/01/2019: Thm de paul Lévy et convergence en Loi (sans preuves, en détail Def 8, Prop 10.2 sans preuve, Thm 11+ Ex 4, Thm* 12 et Ex 6 pour expliquer le problème de perte de masse à l'infini, Thm 15 et Ex 7, en insistant que le X_n du lemme de Skohokhod est la simulation courante de Y_n) , Théorème central limite (Def 10 et Thm* 17, preuve repoussée à la semaine prochaine). Définition et transformée de Fourier des vecteurs gaussiens (chap 2.1 jusqu'à l'exemple 10 inclus). Critère d'indépendance (section 4 du chapitre 2 en entier) .

Cours du 06/02/2019 : Preuve du TCL. Vecteurs gaussiens (Construction et simulation, densité, indépendance). Processus gaussiens (sauf la limite dans L²). (p 15-20)

Cours du 13/02/2019 : Chapitre 3: Rappels sur les espaces L^p( Fonctions intégrables et rappels sur l'intégrale, Inégalité de Holder, interprétation (facultative) en terme de dual, Rappel du Théorème de projection sur un espace fermé de L² vu au S5, on insiste sur la forme similaire à la propriété caractéristique). Définition de l'espérance conditionnelle (on insiste sur la propriété caractéristique, on a donné une idée de preuve). Exemples de base en détail: tribu grossière et tribu engendré par un évènement. Exemples dans le cas discret et le cas indépendant. Propriétés de l'espérance conditionnelle (sans preuves). (p 21-28 sans section 2.2)

Cours du 27/02/2019 (1h30): Demonstration de quelques propriétés: la modularité et le conditionnement successif. Loi conditionnelle. Ex. d'espérance conditionnelle pour les variables à densité et d'espérance conditionnelle gaussienne (Thm* 41 avec preuve et exemple, et juste énoncé du Thm* 42 sans preuve ni exemple (à faire la semaine prochaine)) (p 28-30)

Cours du 06/03/2019 : Exemple et idée de preuve (preuve pour la transformée de Fourier conditionnelle) du Thm* 42. Définition des chaînes de Markov et exemples. Définitions des temps d'arrêts. Définitions des états récurrents et transitoires. Enoncé des théorèmes de caractérisation des états récurrents et transitoires (Thm*50.1 et Thm * 50.2), théorème de classification des états dans le cas fini (extrait du Thm 52) et premier Exemple de classification des états. ( p 31,32,33,34, 38,39)

Cours du 13/03/2019 : Théorème de classification des états dans le cas général. Exemple des variables indépendantes, du processus de Bernoulli et de la marche aléatoire simple biaisée sur R. Mesures invariantes (Théorème avec la formule permettant de montrer l'existence pour souligner le lien avec le temps de premier passage en x). Le cas des chaines finies en détail. (p38-40,42-43 + Thm 52)

Cours du 20/03/2019 (1h30): Exemples de chaines finies. Construction et simulation des chaines de Markov. Propriétés de Markov faible (avec Exemple d'un calcul d'espérance de temps d'atteinte)

Cours du 27/03/2019 : Propriétés de Markov forte (et simulation plus efficace par temps d'attentes sur chaque site). Modèle de Cox Ross et Rubinstein (vocabulaire des marchés viables et complets, étude détaillée de classification des états. Notion d'Option européenne en finance.)

Cours du 3/04/2019 (1h30+2h) : Définition et énoncé du Thm de caractérisation du processus de Poisson (avec démonstration assez détaillée). Loi des temps interarrivées et des temps de sauts conditionnellement au processus de Poisson egal à n en t (avec démonstration détaillée). Construction et simulation à partir d'horloges exponentielles (démonstration très partielle: on voit juste que chaque variable à la loi de Poisson voulue, sans montrer l'indépendance des incréments).

Cours du 10/04/2019 (1h30): Propriété de Markov forte. Généralisations du processus de Poisson, exemple du processus de Poisson composé. Définition du Mouvement brownien et théorème de caractérisation.

Cours du 24/04/2019 (2h): Preuve du théorème de caractérisation. Propriétés et simulation du mouvement brownien. Mouvement brownien géométrique. Th de Girsanov à dérive constante. Formule générale pour la valeure d'une option européenne dans le modèle de Black et Sholes. (On n'a pas eu le temps de voir la formule des options call dans le modèle de Balck et Scholes cette année, elle n'est donc pas à connaître.)
Evaluation

3 Contrôles continus de 1H30 (chacun coeff 1) et un controle final de 2H (coeff 2).

Le CC1 aura lieu le 27 février de 14H jusqu'à 15H30 en Amphi Déambulatoire 2 (suivi du cours 15H45-17H15).
Programme : Question de Cours (Programme : Chapitres 1 et 2)+ Exos jusqu'au TD du mercredi 13/02 inclus (soit la totalité du TD1 sauf exo 4,5). Sujet et sa Correction.

Le CC2 aura lieu le 20 mars de 14H jusqu'à 15H30 (suivi du cours 15H45-17H15).
Programme : Question de Cours (Programme : Thm* du Chapitre 3 ) + Exos jusqu'au TD2 portant sur le chapitre 3 (soit TD2 ex 1,2,3,4,5,6,7,9).Sujet et sa Correction.

Le CC3 aura lieu le 10 avril de 14H à 15H30 (suivi du cours 15H45-17H15).
Programme : Question de Cours (Programme : Thm* du Chapitre 4 c'est-à-dire: Propriété de Markov forte Th 47 avec la def de la filtration d'un temps d'arrêt, Formulation équivalentes de la récurrence Th 50.1 et de la transience Th 50.2, Théorème de classification des états Th50.4, Th des mesures invariantes Th 51) + Exos jusqu'au TD4 portant sur le chapitre 4.Sujet et sa Correction.

Le CCF aura lieu le mercredi 29 mai 2019 de 14H à 16H en amphi Jussieu.
Programme : Questions de Cours (3 questions sur 4 points, Programme : Sur les chapitre 5 et 6 : Th 56 (caractérisation du processus de Poisson),60 (construction du processus de Poisson), Prop 62 (propriété de markov forte); Def 31 (Définition du mouvement brownien), Th 66 (caractérisation du mouvement brownien), Def 32 (Mouvement brownien géométrique), Prop 70(caractérisation du mouvement brownien géométrique))), Exercices: sur tous les TDs. En particulier, au moins un exercice portera sur une chaîne de Markov, au moins un exercice portera sur le processus de Poisson et au moins un exercice portera sur le mouvement brownien.

La Consultation des copies aura lieu le Jeudi 6 juin de 12H30 à 14H en amphi Jordan.

Le CT de 2ème session aura lieu le 28 juin 2019 de 14H00 à 15h30 en AMphi Marie-Curie
Il comportera trois exercices et PAS de questions de cours (ce qui n'empèche pas que certaines questions des exercices soient des applications directes du cours). Bien sûr, le programme des exercices est le même que celui du CCF, c'est à dire tous les TDs. En particulier, un exercice portera sur une chaîne de Markov, un exercice portera sur le processus de Poisson et un exercice portera sur le mouvement brownien.

Feuilles d'exercices

Feuille 1.

Feuille 2.

Feuille 3.

Feuille 4.

Feuille 5 (Correction manuscrite de l'exo 6 ici ).
Contrôles Continus des années passées.
(sur un programme différent).

CC1 2015 et sa Correction.

CC2 2015 et sa Correction.

CCF 2015 et sa Correction

CC1 2016 et sa Correction.

CC2 2016 et sa Correction.

CCF 2016 et sa Correction

CC1 2017 et sa Correction.

CC2 2017 et sa Correction

CCF 2017 et sa Correction.

CC1 2018 et sa Correction.

CC2 2018 et sa Correction
Contact

Je vous invite à consulter régulièrement cette page, mise à jour régulièrement, pour en savoir plus.
N'hésitez pas à me contacter par e-mail.
mèl : dabrowski at math . univ-lyon1 . fr
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