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Thèmes Principaux de Recherche

 De manière très générale, je m'intéresse aux actions de groupes algébriques sur des variétés. Ces situations soulèvent tour à tour des questions de géométrie, d'algèbre ou de combinatoire.

 Depuis plusieurs années, je m'intéresse plus particulièrement aux problèmes de restriction en théorie des représentations; et à la géométrie de certains cônes convexes polyhédraux naturellement associés à ce problème. Ces questions mènent à d'autres sur le calcul de Schubert (produit de Belkale-Kumar). Ces sujets trés classiques en théorie des représentations et en géométrie algébrique connaissent un essor important depuis une quinzaine d'années avec notamment les travaux de Klyachko, Berenstein-Sjamaar, Knutson-Tao, Knutson-Tao-Woodward, Belkale-Kumar...
 Un exemple important de tels cônes est celui décrit par la conjecture de Horn qui répond à la question suivante : que peut-on dire du spectre de la somme de deux matrices hermitiennes en termes des spectres des facteurs ? Ce dernier problème a fait l'objet de nombreux "surveys" par Fulton, Manivel ou Knutson; d'un article de vulgarisation de Bhatia...

 Signalons, pour terminer cette brève présentation de mon thème actuel de recherche, ses interactions. Ces problèmes sont étudiés par une grande variété de techniques allant de la combinatoire, la géométrie algébrique, la géométrie symplectique à la géométrie des immeubles (voir les travaux de Kapovich-Leeb-Millson)... Ces questions ont des intérêts pour l'analyse numérique matricielle, la physique notamment quantique (voir par exemple cet article de Klyachko), la thèorique de la complexité en informatique (voir le "survey" de Burgisser-Landsberg-Manivel-Weyman).

 CV:  PDF.

Collaborateurs

Prakash Belkale
Michaël Bulois
Luca Francone
Pierre-Emmanuel Chaput
Luca Francone
Shiliang Gao
Shrawan Kumar
Joseph Landsberg
Laurent Manivel
Thierry Mignon
Pierre-Louis Montagard
Gidon Orelowitz
Boris Pasquier
Maxime Pelletier
Edward Richmond
Alexander Yong

Etudiants

Luca Francone. Au printemps 2021, il effectue son mémoire de M2 sous mas direction et entamera une thèse financée par le LabeX MiLyon le 1 octobre 2021. Dans son mémoire de M2, Luca étudie un article de Fei dans lequel il donne une interprétation catégorique du modèle des hives de Knutson-Tao. Cet article est important mais difficile àlire. Le travail de Luca devrait donc être utile à la communauté. En thèse, il travail sur le problème de branchement, notament pour les sous-groupes sphériques de rang minimal. Un premier objectif est d'exprimer les multiplicités associées comme le nombre de points entiers dans des polytopes.

Khanh N'Guyen Duc a préparé sa thèse en cotutelle avec Kenji Iohara et moi, d'Octobre 2017 à à Septembre 2020. Elle porte sur les représentations d'algèbres de Kac-Moody.

Pelletier Maxime a soutenu en novembre 2017.

Michael LeBarbier. De septembre 2005 à juin 2009, Michael a préparé sa thèse sous la codirection de Laurent Manivel et moi-même.

Publications

37. On the faces of the tensor cone of symmetrizable Kac-Moody Lie algebras [pdf ]
Avec Shrawan Kumar
Annales Scientifiaues de l'ENS To appear (2024), 45 pp.

36. On the multiplicity spaces of spherical subgroups of minimal rank [pdf ]
, Avec Luca Francone
Bulletin of the London Math Scoiety , to appear, 25 pp.

35. On the automorphisms of the Drinfel'd double of a Borel Lie subalgebra [pdf ]
Avec Michaël Bulois
Journal of Algebra (To appear). 18 pp.

34. Reduction for branching coefficients [pdf ]
Avec Pierre-Emmanuel Chaput
Int. Math. Res. Not. IMRN (2023), no. 17, 15207–15265.
A SageMath program for computing branch divisor classes of Schubert problems for classical Grassmanians [sageProgram.py ]. Its readme [ReadMe]. Or the two files as a tar [Tar]

33. Combinatorics of Newell-Littlewood numbers
Avec Gao, Shiliang; Orelowitz, Gidon; Yong, Alexander
Sém. Lothar. Combin. 86B (2022), Art. 18, 12 pp.

32. Some unexpected properties of Littlewood-Richardson coefficients [pdf ]
Avec Maxime Pelletier
Electron. J. Combin. 29 (2022), no. 4, Paper No. 4.11, 25 pp.
Some checkings with computer [directory.tar We conjecture the existence of an involution on a subset of the triples of partition preserving the Littlewood-Richardson coefficient. This conjecture is checked by computer on numerous examples. Note that our conjecture is now proved by Darij Grinberg. See [ArXiv ]

31. Tensor semigroup of affine KM Lie algebras [pdf ]
JAMS 35 (2022), no. 2, 309–360.

30. Reductions for branching coeficients [pdf ]
J. of Lie Theory 31 (2021), no. 3, 885–896.

29. Vanishing symmetric Kronecker coefficients [ pdf ]
Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry 61, pages 231–246(2020) [online ]

28. Horn inequalities for nonzero Kronecker coefficients [pdf ]
Advances in Math. 356 (2019), 21pp.

27. Permanent v. determinant: An exponential lower bound assuming symmetry and a potential path towards Valiant's conjecture [pdf ]
Avec Joseph Landsberg
Differential Geometry and its Applications 55 (2017), 146–-166.

26. Distribution on homogeneous spaces and Belkale-Kumar's product. [pdf ]
Progr. Math. , 326, 481–-526, Birkhäuser/Springer, Cham, 2018.
The structure coefficients of the Belkale-Kumar product for G/B are computed to be 0 or 1 for groups of type F4 and E6. See the SageMath files [F4] and [E6]

25. Permanent v. determinant: an exponential lower bound assuming symmetry [extended abstract]. [pdf ]
Avec Joseph Landsberg
ITCS'16—Proceedings of the 2016 ACM Conference on Innovations in Theoretical Computer Science, 29–35, ACM, New York, 2016.

24. Generalisations of the PRV conjecture II. [pdf ]
Avec Pierre-Louis Montagard et Boris Pasquier
J. Pure Appl. Algebra 219 (2015), no. 12, 5560–5572

23. The saturation property for branching rules -- Examples. [pdf ]
Avec Boris Pasquier
Exp. Math. 22 (2013), no. 3, 299–312.

This paper uses computer computations. The Sage and 4ti2 files can be find [here]

22. A generalization of Fulton's conjecture for arbitrary groups. [pdf ]
Mathematishe Annalen 354 (2012), no. 2, 401–425.
Avec Prakash Belkale et Shrawan Kumar

21. Multiplicative formulas in Cohomology of G/P and in quiver representations. [pdf ]
Indagationes Mathematicae, Volume 22, Issue 1-2, October 2011, Pages 87-102

20. A cohomology free description of eigencones in type A, B and C. [pdf ]
International Mathematics Research Notices (IMRN) Volume 2012, Issue 21, 2012, Pages 4966–5005. ( Online).

19. A short geometric proof of a conjecture of Fulton. [pdf ]
Enseign. Math. (2), Volume 57, pages 103-115, 2011.

18. Two generalisations of the PRV conjecture. [pdf ]
Avec Pierre-Louis Montagard et Boris Pasquier
Compositio , volume 147, issue 04 (2011), 1321--1336.

17. Hypersurfaces with degenerate duals and the geometric complexity theory program. [pdf]
Avec Joseph Landsberg et Laurent Manivel
Comment. Math. Helv. , volume 88 (2013), no. 2, 469–484.

16. GIT-cones and quivers. [pdf]
Math. Zeit. volume 270 (2012), no. 1-2, 263–275.

15. Geometric Invariant Theory and Generalized Eigenvalue Problem II. [pdf ]
Annales de l'Institut Fourier, vol. 61 (2011), no. 4, 1467–1491.

14. Branching Schubert Calculus and Belkale-Kumar Product on Cohomology. [ pdf]
Avec Edward Richmond
Proc. AMS, Volume 139 (2011), 835-848.

13. Geometric Invariant Theory and Generalized Eigenvalue Problem. [pdf ]
Inventiones Mathematicae , Volume 180, Issue 2 (2010), pages 389-441.[journal]

12.  Spherical homogeneous spaces of minimal rank. [ pdf ]
Advances in Mathematics , volume 224, issue 5, 1 August 2010, Pages 1784-1800. [journal]

11. Lattice Polytopes and Root Systems. [pdf ]
Avec Pierre-Louis Montagard
Bull. London Math Soc., 41(2), pages 227-241, 2009

10. Invariant deformations of orbit closures in sl(n). [pdf ]
Avec Sebastien Jansou
Representation Theory, 13, pages 50-62, 2009

9. Sur des faces du LR-cône généralisé. [pdf ]
Avec Pierre-Louis Montagard.
Bull. SMF, 135, pages 343-365, 2007

8. Adjacency of Young tableaux and the Springer fibers. [pdf ]
Avec N. G. J. Pagnon
Selecta Mathetica, New series, 12, no. 3-4, pages 517-540, 2006

 7. About Knop's action of the Weyl group on the set of orbits of a spherical subgroup in the flag manifold. [pdf ]
Transformation Groups, 10, no. 2, pages 255-265, 2005

6. A quadratic born for the Permanent-Determinant problem. [ pdf ]
Avec T. Mignon
International Mathematics Research Notices (IMRN) 79, pages 4241--4254, 2004

5. Balanced configarations of $2n+1$ plane vectors.  [ pdf ]
Journal of Combinatorics Algebra 21, no. 3, pages 281--287, 2005

4. Sur les orbites d'un sous-groupe sphérique dans la variété des drapeaux. [pdf ]
Bulletin de la SMF 132, pages 543--567, 2004

3. Quotients of group completions by  spherical subgroups. [ pdf ]
J. of Algebra 265, pages 1--44, 2003

2. The GIT-equivalence for G-line bundles. [pdf ]
Geom. Dedicata 81   no.1-3, 295--324, 2000

1. Appendix : an example of a thick wall. [ pdf ]
Pub. Math. IHES 87  pages 53--56, 1998, Appendice à l'article de I. Dolgachev et Y. Hu.

Papiers soumis ou en phase de finalisation

1. Newell-Littlewood numbers III: The saturated cone [pdf ]
File containing the datum about the saturation checking [tar.gz]
Avec Shiliang Gao, Gidon Orelowitz et Alexander Yong

Les coefficients de Newell-Littlewood sont des extensions naturelles des classiques coefficients de Littlewood-Richardson. Ils apparaissent notament comme des multiplicités de décomposition du produit tensoriel des groupes classiques. Dans ce travail nous décrivons le cône engendré par les coefficients de Newell-Littlewood non nuls. Notre résultat est analogue à la conjecture de Horn et répond positivement à une conjecture de trois des auteurs.



2. Bidilation of small Littlewood-Richardson coefficients [pdf ]
Avec Pierre-Emmanuel Chaput

Les coefficients de Littlewood-Richardson $c_{\lambda,\mu}^\nu$ sont les multiplicités de la décomposition du produit tensoriel de deux représentations irréductibles du groupe linéaire GL(n,C). Ils sont paramétrés par des triolets de partitions (λ,μ,ν) de longueur au plus n. D'après une conjecture de Fulton (démontrée par Knutson-Tao), si cλ,μν=1 alors ckλ,kμkν=1, pour tout k≥0. Similairement, comme démontré par Ikenmeyer, si cλ,μν=2 alors ckλ,kμkν=k+1, pour tout k≥0. Ici, étant donnée une partition λ, on pose λ(p,q)=p(qλ′)′, où prime désigne la partition transposée. On observe que la conjecture de Fulton implique que si cλ,μν=1 alors cλ(p,q),μ(p,q)ν(p,q)=1, pour tout p,q≥0. Notre principal résultat est que si cλ,μν=2 alors cλ(p,q),μ(p,q)ν(p,q) est le coefficient binomial (p+qq), pour tout p,q≥0.

3. Intersection multiplicity one for the Belkale-Kumar product in $G/B$ [pdf ]
Avec Luca Francone

We prove that the structure coefficients of any complete homogeneous space $G/B$ are 0 or 1. This was conjectured by specialists since 2006.
The proof of our combinatirial Theorem 3 for the root system F4 [pdf]
Some useful SageMath programs [Tar file]

 Tous les commentaires
sont bienvenus.

Autres documents

HDR : Théorie Géométrique des Invariants et Quelques sujets connexes. [ pdf ]
Soutenue le 3 décembre 2007
Composition du Jury : Michel Brion, Frances Kirwan, Shrawan Kumar, Lucy Moser-Jauslin, Paul-Emile Paradan, Christoph Sorger
Au vu des rapports de : Frances Kirwan, Shrawan Kumar, Lucy Moser-Jauslin

Thèse : Variations de Quotients Géométriques et Applications. [pdf ]
Effectuée sous la direction de Michel Brion, à  l'Université Joseph Fourier (Grenoble I). Soutenue le 16 octobre 2000.

Notes de cours : Reading ``The space of Rational maps on $\PP^1$'' by J.H. Silverman
An Introduction to Geometric Invariant Theory. [ pdf ]
Cours de 9h donné aux Ultrametric Dynamical Days
Du 14 janvier au 1 Février 2008
A Santiago du Chili