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Thèmes Principaux de Recherche

 De manière très générale, je m'intéresse aux actions de groupes algébriques sur des variétés. Ces situations soulèvent tour à tour des questions de géométrie, d'algèbre ou de combinatoire.

 Depuis plusieurs années, je m'intéresse plus particulièrement aux problèmes de restriction en théorie des représentations; et à la géométrie de certains cônes convexes polyhédraux naturellement associés à ce problème. Ces questions mènent à d'autres sur le calcul de Schubert (produit de Belkale-Kumar). Ces sujets trés classiques en théorie des représentations et en géométrie algébrique connaissent un essor important depuis une quinzaine d'années avec notamment les travaux de Klyachko, Berenstein-Sjamaar, Knutson-Tao, Knutson-Tao-Woodward, Belkale-Kumar...
 Un exemple important de tels cônes est celui décrit par la conjecture de Horn qui répond à la question suivante : que peut-on dire du spectre de la somme de deux matrices hermitiennes en termes des spectres des facteurs ? Ce dernier problème a fait l'objet de nombreux "surveys" par Fulton, Manivel ou Knutson; d'un article de vulgarisation de Bhatia...

 Signalons, pour terminer cette brève présentation de mon thème actuel de recherche, ses interactions. Ces problèmes sont étudiés par une grande variété de techniques allant de la combinatoire, la géométrie algébrique, la géométrie symplectique à la géométrie des immeubles (voir les travaux de Kapovich-Leeb-Millson)... Ces questions ont des intérêts pour l'analyse numérique matricielle, la physique notamment quantique (voir par exemple cet article de Klyachko), la thèorique de la complexité en informatique (voir le "survey" de Burgisser-Landsberg-Manivel-Weyman).

 CV:  PDF.


Collaborateurs

Prakash Belkale
Shrawan Kumar
Joseph Landsberg
Laurent Manivel
Thierry Mignon
Pierre-Louis Montagard
Boris Pasquier
Edward Richmond


Publications

29. Vanishing symmetric Kronecker coefficients [ pdf ]
Beiträge zur Algebra und Geometrie / Contributions to Algebra and Geometry 17 October 2019, [online first ]

28. Horn inequalities for nonzero Kronecker coefficients [pdf ]
Advances in Math. 356 (2019), 21pp.

27. Permanent v. determinant: An exponential lower bound assuming symmetry and a potential path towards Valiant's conjecture [pdf ]
Differential Geometry and its Applications 55 (2017), 146–-166.

26. Distribution on homogeneous spaces and Belkale-Kumar's product. [pdf ]
Progr. Math. , 326, 481–-526, Birkhäuser/Springer, Cham, 2018.
The structure coefficients of the Belkale-Kumar product for G/B are computed to be 0 or 1 for groups of type F4 and E6. See the SageMath files [F4] and [E6]

25. Permanent v. determinant: an exponential lower bound assuming symmetry [extended abstract]. [pdf ]
Avec Joseph Landsberg
ITCS'16—Proceedings of the 2016 ACM Conference on Innovations in Theoretical Computer Science, 29–35, ACM, New York, 2016.

24. Generalisations of the PRV conjecture II. [pdf ]
Avec Pierre-Louis Montagard et Boris Pasquier
J. Pure Appl. Algebra 219 (2015), no. 12, 5560–5572

23. The saturation property for branching rules -- Examples. [pdf ]
Avec Boris Pasquier
Exp. Math. 22 (2013), no. 3, 299–312.

This paper uses computer computations. The Sage and 4ti2 files can be find [here]

22. A generalization of Fulton's conjecture for arbitrary groups. [pdf ]
Mathematishe Annalen ( Online first).
Avec Prakash Belkale et Shrawan Kumar

21. Multiplicative formulas in Cohomology of G/P and in quiver representations. [pdf ]
Indagationes Mathematicae, Volume 22, Issue 1-2, October 2011, Pages 87-102

20. A cohomology free description of eigencones in type A, B and C. [pdf ]
International Mathematics Research Notices (IMRN)( Online first). 40 pages.

19. A short geometric proof of a conjecture of Fulton. [pdf ]
Enseign. Math. (2), Volume 57, pages 103-115, 2011.

18. Two generalisations of the PRV conjecture. [pdf ]
Avec Pierre-Louis Montagard et Boris Pasquier
Compositio , volume 147, issue 04 (2011), 1321--1336.

17. Hypersurfaces with degenerate duals and the geometric complexity theory program. [pdf]
Avec Joseph Landsberg et Laurent Manivel
Comment. Math. Helv. (à paraître). 11 pages.

16. GIT-cones and quivers. [pdf]
Math. Zeit. (à paraître ou online). 13 pages.

15. Geometric Invariant Theory and Generalized Eigenvalue Problem II. [pdf ]
Annales de l'Institut Fourier (à paraître). 26 pages.

14. Branching Schubert Calculus and Belkale-Kumar Product on Cohomology. [ pdf]
Avec Edward Richmond
Proc. AMS, Volume 139 (2011), 835-848.

13. Geometric Invariant Theory and Generalized Eigenvalue Problem. [pdf ]
Inventiones Mathematicae , Volume 180, Issue 2 (2010), pages 389-441.[journal]

12.  Spherical homogeneous spaces of minimal rank. [ pdf ]
Advances in Mathematics , volume 224, issue 5, 1 August 2010, Pages 1784-1800. [journal]

11. Lattice Polytopes and Root Systems. [pdf ]
Avec Pierre-Louis Montagard
Bull. London Math Soc., 41(2), pages 227-241, 2009

10. Invariant deformations of orbit closures in sl(n). [pdf ]
Avec Sebastien Jansou
Representation Theory, 13, pages 50-62, 2009


9. Sur des faces du LR-cône généralisé. [pdf ]
Avec Pierre-Louis Montagard.
Bull. SMF, 135, pages 343-365, 2007

8. Adjacency of Young tableaux and the Springer fibers. [pdf ]
Avec N. G. J. Pagnon
Selecta Mathetica, New series, 12, no. 3-4, pages 517-540, 2006

 7. About Knop's action of the Weyl group on the set of orbits of a spherical subgroup in the flag manifold. [pdf ]
Transformation Groups, 10, no. 2, pages 255-265, 2005

6. A quadratic born for the Permanent-Determinant problem. [ pdf ]
Avec T. Mignon
International Mathematics Research Notices (IMRN) 79, pages 4241--4254, 2004

5. Balanced configarations of $2n+1$ plane vectors.  [ pdf ]
Journal of Combinatorics Algebra 21, no. 3, pages 281--287, 2005

4. Sur les orbites d'un sous-groupe sphérique dans la variété des drapeaux. [pdf ]
Bulletin de la SMF 132, pages 543--567, 2004

3. Quotients of group completions by  spherical subgroups. [ pdf ]
J. of Algebra 265, pages 1--44, 2003

2. The GIT-equivalence for G-line bundles. [pdf ]
Geom. Dedicata 81   no.1-3, 295--324, 2000

1. Appendix : an example of a thick wall. [ pdf ]
Pub. Math. IHES 87  pages 53--56, 1998, Appendice à l'article de I. Dolgachev et Y. Hu.


Papiers soumis (voir aussi ArXiv)

1. A reduction rule for branching coeficients [pdf ]

  Dans cette note, nous montrons une règle de réduction pour les coefficients de branchements du bord du LR-cône. Ceci généralise des résultats de Brion et Roth. Notre preuve est nouvelle.

2. Tensor semigroup of affine KM Lie algebras [pdf ]

3. On the faces of the tensor cone of symmetrizable Kac-Moody Lie algebras [pdf ]
Avec Shrawan Kumar

 Tous les commentaires
sont bienvenus.

Préprints (voir aussi ArXiv)

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Autres documents

HDR : Théorie Géométrique des Invariants et Quelques sujets connexes. [ pdf ]
Soutenue le 3 décembre 2007
Composition du Jury : Michel Brion, Frances Kirwan, Shrawan Kumar, Lucy Moser-Jauslin, Paul-Emile Paradan, Christoph Sorger
Au vu des rapports de : Frances Kirwan, Shrawan Kumar, Lucy Moser-Jauslin

Thèse : Variations de Quotients Géométriques et Applications. [pdf ]
Effectuée sous la direction de Michel Brion, à  l'Université Joseph Fourier (Grenoble I). Soutenue le 16 octobre 2000.

Notes de cours : Reading ``The space of Rational maps on $\PP^1$'' by J.H. Silverman
An Introduction to Geometric Invariant Theory
. [ pdf ]
Cours de 9h donné aux Ultrametric Dynamical Days
Du 14 janvier au 1 Février 2008
A Santiago du Chili