Analyse M1G,Automne 2016

Horaires

Cours : le lundi de 9h45 à 13h (Thémis 40) 1eme cours le 12 septembre.

TD lundi 14H-15H30 (Thémis 44) et mercredi 14h-17H15. (Salle variable à partir du 14 septembre).

PAS de TD le 5 Octobre.

Cours

Polycopié du cours :Cours Complet.

LES PREUVES DES CHAPITRES 4 ET 5 SERONT À CONNAÎTRE pour le CCF (sauf parties écrites explicitement comme facultatives).

Référence principale: Analyse Fonctionnelle : Théorie et application de Haim Brézis (Dunod);
Pour des compléments ou des exemples, on a aussi les références suivantes :

Elements d'analyse d'Hervé Queffélec et Claude Zuily (Dunod, surtout chap V,VI,VIII); Functional Analysis de Walter Rudin (McGrawHill), et Analyse réelle et complexe de Walter Rudin (Dunod).

Cours du 12/09/2016 : Chapitre 0:Espaces vectoriels normés, Chapitre 1: Rappels et section 2 jusqu'au Lemme d'Uryshon et définition des mesures de Radon (p 1-12)

Cours du 19/09/2016 : Chapitre 1:Théorème de Lusin. Espaces L^p définition, inégalité de Holder et caractère banachique. Densité des fonctions continues et étagées et application à la continuité forte de la translation. (p13-17)

Cours du 26/09/2016 : Chapitre 1:Densité préfaible des fonctions continues dans L^∞ ,Convolution (définition, support, régularité, application à la densité des fonction C^∞_c dans L^p,p<∞). Chapitre 2: Complétude des espaces de fonctions continues bornés et linéaires continues entre evn et espace de Banach. Théorème de Bernstein. (p18-24)

Cours du 03/10/2016 : chapitre 2: Théorème d'approximation de Weierstrass. Théorème d'Ascoli. Espaces de Holder (définition et injections compactes) et Espaces de Sobolev sur un intervalle de R (définition, caractère Banachique et injection dans les fonctions continues et les espaces de Holder). chapitre 3 : Enoncé du Thm de prolongement de Hahn Banach. Première Application au dual. (p 24-28)

1/2-Cours du 10/10/2016 : chapitre 3: Preuve du Thm de prolongement de Hahn-Banach. Dualité des quotients et orthogonalité. Ensembles convexes (définition de la jauge) (p29-33)

Cours du 17/10/2016 : chapitre 3:Thm de de séparation de Hahn Banach. Fonctions semi-continues et convexes (version abrégée sans preuves).chapitre 4: Espaces de Hilbert: définition et premières propriétés, Enoncé du théorème de projection sur un convexe fermé (p34-43)

Cours du 24/10/2016 :Preuve du theoèrème de projection et exemples. Théorème de représentation de Riesz. Adjoint d'un opérateur borné. Orthogonalité. Bases hilbertiennes (Exemple correspondant aux séries de Fourier dans L² et Theorème fondamental) (p 43-49)

Cours du 07/11/2016 : chapitre 4: Preuve du theorème fondamental des bases. Théorème de Lax-Milgram et application. Chapitre 5, Dual, Bidual (ex de c₀(N)) et complété. Théorème de Banach-Steinhaus (p 49-54)

1/2-Cours du 14/11/2016 : Application du Th. de Banach-Steinhaus. Théorèmes de l'application ouverte et du graphe fermé (application aux supplémentaires fermés). Topologies faibles: définition et généralités

Cours du 21/11/2016 : Toplogies faibles :Convexes faiblement fermés Compacités pour la topologie préfaible, Application à la minimisation. Lemme de Goldstine. Séparabilité

Cours du 28/11/2016 : Espaces de Banach réflexifs et uniformément convexes. Rappels du DM sur les opérateurs compacts. Introduction à la théorie spectrale: spectre (dont sa compacité), rayon spectral et relation à la norme.

1/2-Cours du 05/12/2016 : Calcul fonctionnel continu, Décomposition polaire. Opérateurs compacts et à trace sur un Hilbert. Enoncé du théorème spectral pour les opérateurs compacts sur un Hilbert (sans démonstration).

1/2-Cours du 12/12/2016 : Théorème de dualité des espaces $L^p$ (cas sigma-fini). Complément facultatif: Th. de Radon-Nikodym (admis). Retour sur les propriétés des espaces de fonctions rencontrés.

Evaluation

3 Contrôles continus de 2H (chacun coeff 2) et un controle final de 3H (coeff 3).

Le CC1 aura lieu le lundi 10 octobre de 10H à 12H en Amphi ASTREE 13.

Programme : Cours jusqu'au théorème de Bernstein (chapitres 0, 1 et début du 2). Exos: Feuille de TD1. Sujet et sa Correction.

Le CC2 aura lieu le lundi 14 novembre de 10H à 12H en Amphi Thémis 8

Programme : Cours jusqu'au chapitre 3. Exos: jusqu'au TD du mercredi 2/11 inclus (soit TD1 + TD2+TD3: ex 1,3,4,5,6,10). Sujet et sa Correction.

Le CC3 aura lieu le lundi 5 décembre de 10H à 12H en Amphi Thémis 8

Programme : Cours jusqu'au chapitre 5.3 (dont chapitre 4 avec preuves). Exos: jusqu'au TD du mercredi 23/11 inclus (soit TD3 + TD4+TD5: ex 1). Sujet et sa Correction.

Le CCF aura lieu le jeudi 5/01/2017 de 9H à 12h en Thémis 69.

Programme : Questions de Cours (Programme Chapitre 5.1, 5.2 et 5.3 avec preuves) + 2 problèmes: un sur les espaces de Hilbert, un sur les espaces de Banach (Programme: tous les exos vus en TDs).

Sujet et sa Correction.

Devoir Maison pour le 2 novembre 2016

Sujet -et sa Correction.

Feuilles d'exercices

Feuille 1. (correction partielle).

Feuille 2. (correction partielle).

Feuille 3 .(correction partielle).

Feuille 4 .(correction partielle)

Feuille 5 .

Feuille 6 .

Autres exercices : le livre Cours d'analyse fonctionnelle : avec 200 exercices corrigés de Daniel LI (éditeur Ellipse) est une bonne source d'exercices (dans les chapitres correspondant aux grands théorèmes du cours). On peut aussi chercher les exercices d'il y a 2 ans proposés par Francis Clarke:

Feuille 1 2014 .

Feuille 2 2014.

Feuille 3 2014.

Feuille 4 2014.