Analyse M1G,Automne 2017

Horaires

Cours : le lundi de 9h45 à 13h (Thémis 40 puis salle variable, surtout Thémis 64, cf ADE) 1eme cours le 11 septembre.

TDs donnés par Viet DANG à partir du 18 septembre : lundi 14H-15H30 et mercredi 14h-17H15. (Salle variable à partir du 14 septembre).

Cours les mercredi 13 septembre et 22 novembre à 14H.

Cours

Polycopié du cours :Cours Complet.

LES PREUVES DES CHAPITRES 4 ET 5 SERONT À CONNAÎTRE pour le CCF (sauf parties écrites explicitement comme facultatives).

Référence principale: Analyse Fonctionnelle : Théorie et application de Haim Brézis (Dunod);
Pour des compléments ou des exemples, on a aussi les références suivantes :

Elements d'analyse d'Hervé Queffélec et Claude Zuily (Dunod, surtout chap V,VI,VIII); Functional Analysis de Walter Rudin (McGrawHill), et Analyse réelle et complexe de Walter Rudin (Dunod).

Cours du 11/09/2017 : Chapitre 0:Espaces vectoriels normés en entier, incluant :dual de $\ell^1(\N)$, rappels de complétude (dont lemme de Baire)et compacité (dont caractérization compact métrique comme précompact et complet). Rappels sur les evn de dimension finie dont Thm de compacité de Riesz. (p1-10)

Cours du 13/09/2017 : Chapitre 1: Rappels dont théorèmes de continuité et d'holomorphie d'intégrale à paramètre avec condition de domination et section 2 : Lemme d'Uryshon et définition des mesures de Radon, Théorème de Lusin. Espaces L^p définition, inégalité de Holder par le lemme des 3 droites de Hadamard. Rappel de la densité des fonctions étagées. (p10-17)

Cours du 18/09/2017 : Chapitre 1: caractère banachique de L^p et isométrie dans la dualité avec L^q. Densité des fonctions continues et application à la continuité forte de la translation. Densité préfaible des fonctions continues dans L, Convolution (définition, support, régularité).

Cours du 25/09/2017 : chapitre 2: Application de la convolution à la densité des fonction C^∞_c dans L^p,p<∞ Chapitre 2: Complétude des espaces de fonctions continues bornés et linéaires continues entre evn et espace de Banach. Théorème de Bernstein. Théorème d'approximation de Weierstrass. Théorème d'Ascoli. Espaces de Holder (définition et injections compactes) (p 23-29).

Cours du 2/10/2017 : Espaces de Sobolev sur un intervalle de R (définition, caractère Banachique et injection de H¹ dans les fonctions continues et les espaces de Holder). chapitre 3: Enoncé et Preuve du Thm de prolongement de Hahn-Banach. Application à la formule de la norme (isométrie vers le bidual) et à la norme de la transposée d'une application linéaire continue. Ensembles convexes (Convexes engendrés et définition de la jauge) (p29-33,35-36)

1/2-Cours du 9/10/2017 : chapitre 3: Preuve du Thm des jauges. Thm de séparation de Hahn-Banach. Applications: séparation des points, caractérisation de la densité par l'orthogonal.

1/3-Cours du 16/10/2017 : Fin du chapitre 3: Relation de Hahn-Banach à la dualité des sous-espaces et des quotients. Equivalence pour une application linéaire continue entre injectivité de la transposée et image dense. Fonctions semi-continues et convexes (version abrégée sans preuves) et caractérization différentielle des fonctions convexes.

3/2 Cours du 23/10/2017 :chapitre 4: Espaces de Hilbert: définition et premières propriétés, Enoncé et preuve du théorème de projection sur un convexe fermé et exemples. Théorème de représentation de Riesz. Adjoint d'un opérateur borné. Orthogonalité. Bases hilbertiennes (Exemple correspondant aux séries de Fourier dans L² et Theorème fondamental) Preuve du theorème fondamental des bases.(p 44-52)

Cours du 06/11/2017 : chapitre 4: Fin de la preuve du theorème fondamental des bases. Théorème de Lax-Milgram et application. Chapitre 5, Dual, Bidual (ex de c₀(N)) et complété. Théorème de Banach-Steinhaus. Lemme des applications presque surjectives. (p 49-54)

Cours du 13/11/2017 : Théorèmes de l'application ouverte et du graphe fermé (application aux supplémentaires fermés). Topologies faibles: définition et généralités. :Convexes faiblement fermés Compacités pour la topologie préfaible, Application à la minimisation. Lemme de Goldstine. Séparabilité (définition)

1/3 de Cours du 20/11/2017 : Séparabilité: exemples des espaces L^p([0,1]), p<∞, relation avec la dualité, Banach séparables comme quotients de l¹(N), métrisabilité de la topologie préfaible de la boule unité de l^∞(N).

Cours du 22/11/2017 : Séparabilité: équivalence à la métrisabilité de la topologie préfaible de la boule unité du dual. Espaces de Banach réflexifs (résultats de stabilité par dual et sous-espace fermé) et uniformément convexes. Introduction aux opérateurs compacts (résultats admis). Introduction à la théorie spectrale: spectre (dont sa compacité), rayon spectral et relation à la norme.

Cours du 27/11/2017 : Calcul fonctionnel continu, Décomposition polaire. Opérateurs compacts et à trace sur un Hilbert. Enoncé du théorème spectral pour les opérateurs compacts sur un Hilbert (sans démonstration). Théorème de dualité des espaces $L^p$ (cas sigma-fini)

1/3-Cours du 4/12/2017 : Complément facultatif: Th. de Radon-Nikodym (admis). Retour sur les propriétés des espaces de fonctions rencontrés. Thm de Radon-Riesz (admis).

Evaluation

2 Contrôles continus de 2H (coeff 1.5) les 16/10 et 04/12, un partiel de 2H (coeff 2) le 20/11 et un examen final de 2H (coeff 4).

Le CC1 aura lieu le lundi 16 octobre de 9H45 à 11H45 en Amphi Déambulatoire 3.

Programme : Cours (chapitres 0, 1 et 2 dont preuves de la partie convolution). Exos: Feuille de TD1 et 2 jusqu'au TD du 4 octobre. Sujet et sa Correction.

Le CC2 aura lieu le lundi 20 novembre de 9H45 à 11H45 en Amphi Déambulatoire 1.

Programme : Cours jusqu'au chapitre 4 inclus, Dont les preuves des 3 grands Thm sur les espaces de Hilbert. Exos: jusqu'au TD du mercredi 8/11 inclus (soit TD2+TD3: exo 1,2,3,4,6,8,9,10,11,13). Sujet et sa Correction.

Le CC3 aura lieu le lundi 4 décembre de 9H45 à 11H45 en Déambulatoire 1

Programme : Cours jusqu'au chapitre 5.3 (dont preuves des Théorèmes de Banach-Steinhaus et de l'application ouverte). Exos du TD 4 sur les espaces de Hilbert. Sujet et sa Correction.

Le CCF aura lieu le mardi 9/01/2018 de 9H à 12h en Thémis 69.

Programme : 2 problèmes: un sur les espaces de Hilbert, un sur les espaces de Banach (Programme: tous les exos vus en TDs).

Sujet et sa Correction.

Devoir Maison pour le 8 novembre 2016

Sujet et sa Correction.

Feuilles d'exercices

Feuille 1.

Feuille 2.

Feuille 3 .

Feuille 4 .

Feuille 5

Feuille 6 .

Autres exercices : le livre Cours d'analyse fonctionnelle : avec 200 exercices corrigés de Daniel LI (éditeur Ellipse) est une bonne source d'exercices (dans les chapitres correspondant aux grands théorèmes du cours). On peut aussi chercher les exercices d'il y a 3 ans proposés par Francis Clarke:

Feuille 1 2014 .

Feuille 2 2014.

Feuille 3 2014.

Feuille 4 2014.